Nel caso di imbatterci in un'equazione di grado superiore al 2,a coefficienti non necessariamente interi, è possibile trovare in maniera "meccanica" una o più radici (non necessariamente intere)? In sostanza, esiste un metodo che non consista nello "sparare" radici e sperare che siano zeri?
E nel caso di imbatterci in una diofantea di grado superiore al 2,salvo fattorizzazioni e cose varie, esiste un metodo "meccanico" per trovare almeno una radice?
Radici NON INTERE di equazioni di grado superiore al 2.
Radici NON INTERE di equazioni di grado superiore al 2.
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
Re: Radici NON INTERE di equazioni di grado superiore al 2.
le equazioni di terzo e quarto grado si risolvono esattamente, ma a livello olimpico non sono richieste (credo che tecnicamente non sia neanche richiesto sapere le equazioni di secondo grado, ma magari mi sbaglio).
per le equazioni di grado 5 o superiori, non c'è una "formula risolutiva" come per le equazioni di grado inferiore (e si dimostra che non ne può esistere una).
tuttavia, c'è un modo per trovare soluzioni razionali (e, a occhio e croce, anche della forma $p_1^{\alpha_1}\cdot\dots \cdot p_k^{\alpha_k}$, con gli $\alpha_i$ razionali, ma quello che scrivo io vale solo per le soluzioni razionali) di equazioni a coefficienti razionali (ammesso che ce ne siano): intanto, possiamo supporre che l'equazione sia a coefficienti interi (moltiplicando per il massimo comun denominatore dei coefficienti), e si scriva:
$a_dx^d+\cdots +a_1x+a_0=0.$
le soluzioni razionali vanno cercate tra i numeri della forma $\pm \frac{p}{q}$ con $p|a_0$ e $q|a_d$ (il simbolo $|$ vuol dire "divide").
ed è un piacevole esercizio dimostrarlo
per le equazioni di grado 5 o superiori, non c'è una "formula risolutiva" come per le equazioni di grado inferiore (e si dimostra che non ne può esistere una).
tuttavia, c'è un modo per trovare soluzioni razionali (e, a occhio e croce, anche della forma $p_1^{\alpha_1}\cdot\dots \cdot p_k^{\alpha_k}$, con gli $\alpha_i$ razionali, ma quello che scrivo io vale solo per le soluzioni razionali) di equazioni a coefficienti razionali (ammesso che ce ne siano): intanto, possiamo supporre che l'equazione sia a coefficienti interi (moltiplicando per il massimo comun denominatore dei coefficienti), e si scriva:
$a_dx^d+\cdots +a_1x+a_0=0.$
le soluzioni razionali vanno cercate tra i numeri della forma $\pm \frac{p}{q}$ con $p|a_0$ e $q|a_d$ (il simbolo $|$ vuol dire "divide").
ed è un piacevole esercizio dimostrarlo