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qualcuno riuscirebbe a spiegarmi cos'è, perchè è valida a livello teorico e come la si può applicare nella risoluzione dei problemi?
oppure sapete lincarmi un buon pdf in cui la spieghi in maniera dettagliata con esempi concreti di dimostrazioni?

Qui è spiegata dignitosamente mi pare... http://it.wikipedia.org/wiki/Discesa_infinita

e lì lo avevo visto, ma diciamo che non la ho compresa pienamente a livello teorico e non ho capito bene come applicarla (vorrei capirla proprio a fondo perchè è un punto cruciale in molte dimostrazioni

L'idea è: vogliamo mostrare che non esistono oggetti (numeri interi positivi/non negativi o strutture a cui possiamo associare numeri interi positivi/non negativi) che abbiano una certa proprietà. Si mostra allora che, se un tale numero/oggetto esiste, allora esiste un numero intero strettamente più piccolo ma ancora positivo/non negativo o un oggetto cui è associato un intero strettamente più piccolo, ma ancora positivo/non negativo. Questo ci permette di costruire una successione infinita decrescente di numeri interi positivi/non negativi, impossibile.

Esempio: cerca da qualche parte la famosa dimostrazione pitagorica dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$

ok, ora l'ho capita benissimo, non potevi essere più chiaro, certo l'applicazione ancora faccio un po' di fatica ad immaginarmela, però siamo già a buon punto. adesso provo a cercare, a su $ \sqrt{2} $ c'è di tutto e di più