dubbio potenza continua

[staffo]

allora ho un dubbio su una cosa che definisco "potenza continua", se mi permettete (non so se può avere un altro nome)

allora, il problema è questo:

$ e^{-1+e^{-1+e^{-1+e^{...}}}}=x $ ecco, vorrei sapere il valore x. se osservo i vari passaggi, vedo che al primo vale $ e^{-1+e} $ che è più di e, e così al seondo passaggio aumenta ancora e così via.

ora però se analizzo il problema in un'altra maniera, succede questo:

$ -1+e^{-1+e^{-1+e^{-1+e^{...}}}}=x-1 $ e quindi per sotituzione $ -1+e^{x-1}=x-1 $ e quindi
$ +e^{x-1}=x $ e quindi $ x=1 $

devo quindi pensare che quella potenza valga 1 o infinito (ovviamente quando gli esponenti tendono all'infinito, come una frazione continua)? dove ho sbagliato? perchè se non ci fossero errori sarebbe un controsenso, o forse no? accetto anche commenti parziali relativi al problema, ho voglia di sapere.... EDIT: la potenza è riferita solo alla e e non al -1, prima che ci si confonde

P.S. (ormai sono il re dei P.S.) non so se mi sono spiegato bene, ma penso che sia comprensibile quello che ho scritto dai =). però non so se era la sezione giusta. e su dai mettete qualche commento e datemi una mano =(

[ndp15]

$ -1+e^{-1+e^{-1+e^{-1+e^{...}}}}=x-1 $

Ma questo passaggio come lo motivi? Non capisco se non vedo qualcosa di ovvio io, o è sbagliato proprio.
Comunque quella che tu chiami potenza continua sarebbe meglio definirla ricorsivamente e studiarla come una successione; in particolare si guarderà poi se e a cosa converge questa successione, e non a che valore di $x$ è uguale

[staffo]

non ho fatto nulla, prima di tutto a livello nozionistico e linguistico sono molto carente, quindi chiedo perdono.

in quel passaggio non ho fatto nient'altro che aggiungere a sinistra e a destra -1 in modo tale da poterlo sostituire all'esponente della potenza continua o ricorsiva o come la si vuol chiamare.

non mi sembra un passaggio illecito (è un'equazione)

P.S. (come solito) io ho fatto come per quando si calcola una qualsiasi frazione continua, ad esempio il numero d'oro, sostituendo e trovando la x, non mi sembra sia una cosa sbagliata =)

[ndp15]

Intanto non intendevo che si chiamano "ricorsivamente" o "ricorsive", ma che le definisco in quel modo (per capire cosa intendo dai un'occhiata qua e qua.
Per il passaggio che ti ho segnato ora ho capito cosa intendevi fare, cosi come nei passaggi successivi. Il problema è proprio che quella che te hai scritto come equazione, non è una vera e propria equazione ma una successione di cui vuoi studiare il comportamento quando "va all'infinito". Per fare questo però serve un bel po' di teoria e nozioni che credo tu non abbia, in particolare molte operazioni non sono lecite e possono sorgere un po' di "paradossi".
Ti conviene aspettare qualche volenteroso che sappia spiegarti in parole semplici come nascono questi "paradossi", io non credo di essere in grado ora come ora di farlo (se trovo qualcosa che può esserti utile in rete te lo linkerò).

[staffo]

a ok, per ricorsiva so' cosa intendevi, le ho studiate, come ho studiato in maniera discreta le successioni e come definirle; infatti non è un'operazione illecita quella da me fatta, lo faceva anche eulero per studiare il comportamento di -1+1-1+1-1+1-1...., cioè lo poneva uguale a x e trovava il risultato.

e come lo definisci il numero d'oro? non fai mica $ x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}} $ e di conseguenza

$ x=1+\frac{1}{x} $ ?

poi ovvio che magari qualcosa ho sbagliato, credo che in ciò hai ragione, ma il problema credo sia un altro, e devo capire quale

[ndp15]

Ah ok credevo fossi più indietro a livello nozionistico.
Allora cerco di parlare un po' meglio: l'operazione che fai te (non quella che ho quotato, ma quella successiva) è lecita se hai prima scoperto che la successione converge, e che la funzione generatrice che la definisce è continua.
Mi segui?

[staffo]

ok, ma non capisco i motivi. primo, perchè posso sostituire solo se converge? la sostituzione mi sembra un procedimento lecito sempre, cioè, se io faccio 1+2+3+4+5+6....=x è ovvio che non converge, ma nulle mi vieta di fare 1+(x-1)=x (almeno credo)
secondo, per definire se è continua sinceramente non saprei, anche qui, se io scrivo$ y=\frac{1}{x} $ non mi vieta nessuno di scrivere $ y=\frac{1}{\frac{1}{y}} $ e anche qui, almeno credo. se è questo il motivo del paradosso ti prego di spiegarmelo perchè vorrei capire


P.S. comunque non credere che sia così avanti a livello nozionistico, la prima impressione era abbastanza giusta =).

[ndp15]

ok, ma non capisco i motivi. primo, perchè posso sostituire solo se converge? la sostituzione mi sembra un procedimento lecito sempre, cioè, se io faccio 1+2+3+4+5+6....=x è ovvio che non converge, ma nulle mi vieta di fare 1+(x-1)=x (almeno credo)

Non è lecito se poi deduci informazioni sul valore del limite (qua ti viene un'identità di cui non ti fai nulla). Ora ti dovrei dire di preciso i motivi per cui questo non si può fare, ma l'argomento non è semplicissimo e ora come ora non saprei spiegartelo. Provo a cercare qualcosa in internet, se no invoco ancora l'aiuto di qualche utente più esperto che di sicuro saprà spiegare le cose meglio che me.
Per la continuità a livello pratico non ti devi preoccupare molto se hai a che fare con funzioni "normali", perchè saranno sempre continue (a meno di punti particolari tipo dove si annulla il denominatore, etc).

[staffo]

si infatti per la continuità era ovvio che fosse continua, e quindi escludiamo un problema. Rimane l'altro problema che dici tu.

però una domanda mi sorgerebbe spontanea: come si può definire in maniera ricorsiva questa "funzione" (perchè, se considerata la potenza in se, da sola, non è nemmeno un funzione, cioè $ e^{-1+e^{-1+e^{-1+e^{...}}}} $ è un numero, come lo è $ \pi $ o radice di due, anche se ovviamente il fatto che valga, qualitativamente (cioè osservandolo), un valore infinito non aiuta! (chissà quante cavolate avrò scritto!)

comunque come hai detto tu, invoco qualcuno che riesca a spiegarmelo =)

[dario2994]

Formalizziamo un poco:
$a_0=0$
$a_{n+1}=e^{a_n-1}$ (che in realtà non è l'unico modo di definire la successione... e al cambiare della definizione potrebbe cambiare il risultato ma io scelgo questo perchè è il primo che mi è venuto in mente)
Noi si vuole trovare $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ sempre che esista.
È facile mostrare $0\le a_n$ e $a_n<1$ (induzione).
Ora prendo $e^{x-1}-x$ e lo derivo $e^{x-1}-1$, questa se $0\le x<1$ è sempre negativa quindi la funzione è decrescente in (0,1) e inoltre 1 è l'unica radice Sfruttando questo risultato è ovvio dimostrare che gli $a_n$ sono crescenti.
Perciò ho una successione limitata superiormente e crescente -> ha limite per un qualche teorema (o forse per definizione, chissà)
Il limite, che chiamo x, è ovvio che rispetta $x=e^{x-1}$ ma si è dimostrato che questa ha come unica radice in 0,1 il valore 1 -> x=1 e il problema è risolto.

Il disastro iniziale dipendeva dal fatto che avevi preso un'altra roba, cioè la successione "al contrario" cioè partendo dal basso, ma questa non è affatto detto che abbia lo stesso limite di quella definita da me e infatti non lo fa.

[staffo]

ecco, è questo il punto. definirla così è correttissimo, però non capisco dove stia la differenza.
perchè anche tu hai trovato come soluzione 1, quindi, se non ho capito male, dicevi che prima quando applicavo la formula la stavo definendo al contrario e per quello mi sembrava andasse a più infinito.

ma scusa, se la applico come dici tu:

al passo 0 --> 0

al passo 1 --> $ e^{0-1} $ e qui è il primo mio dubbio, forse ilpasso 0 non è 0!
$ [tex] $$ $[/tex]
al passo 2 --> $ e^{e^{0-1}} $ quindi non esce quello che ho scritto io all'inizio

quindi per prima cosa se hai applicato l'induzione con il passo 0 sbagliato penso che sia sbagliata (sempre che non mi sbaglio io )

io piuttosto allora la definirei al passo 0 --> e
al passo 1 -->$ e^{-1+e} $
al passo 2 -->$ e^{-1+e^{-1+e}} $

quindi si dovrebbe rifare l'induzione con $ e $ come $ a_0 $. correggimi se mi sbaglio.

oltretutto se la definisco così all'incontrario, come dici tu, guarda una cosa:

al passo 0 --> e e quindi vale circa 2,7182...
al passo 1 --> $ e^{-1+e} $ e quindi vale circa 5,5749...
al passo 2 --> $ $ e quindi vale circa 97,0223...

come vedi siamo al punto di prima.

[dario2994]

ecco, è questo il punto. definirla così è correttissimo, però non capisco dove stia la differenza.
perchè anche tu hai trovato come soluzione 1, quindi, se non ho capito male, dicevi che prima quando applicavo la formula la stavo definendo al contrario e per quello mi sembrava andasse a più infinito.

Si

ma scusa, se la applico come dici tu:

al passo 0 --> 0

al passo 1 --> $ e^{0-1} $ e qui è il primo mio dubbio, forse ilpasso 0 non è 0!
$ [tex] $$ $[/tex]
al passo 2 --> $ e^{e^{0-1}} $ quindi non esce quello che ho scritto io all'inizio

quindi per prima cosa se hai applicato l'induzione con il passo 0 sbagliato penso che sia sbagliata (sempre che non mi sbaglio io )

Il passo 2 in realtà è $e^{e^{-1}-1}$ e secondo me ti sbagli tu (anche se non ho capito che stai dicendo... ).

io piuttosto allora la definirei al passo 0 --> e
al passo 1 -->$ e^{-1+e} $
al passo 2 -->$ e^{-1+e^{-1+e}} $

Quindi andresti a considerare
$a_0=e$
$a_{n+1}=e^{a_n-1}$
Che semplicemente è un'altra cosa e non c'è nessun motivo per cui debba avere lo stesso limite dell'altra.

quindi si dovrebbe rifare l'induzione con $ e $ come $ a_0 $. correggimi se mi sbaglio.

oltretutto se la definisco così all'incontrario, come dici tu, guarda una cosa:

al passo 0 --> e e quindi vale circa 2,7182...
al passo 1 --> $ e^{-1+e} $ e quindi vale circa 5,5749...
al passo 2 --> $ $ e quindi vale circa 97,0223...

come vedi siamo al punto di prima.

Infatti in questo caso il limite è +infinito (prova a dimostrarlo )

[staffo]

allora, a parte che con l'induzione me la cavo molto male (la sto studiando proprio in questo periodo per i conti miei)

è quella con il passo $ a_0=e $ quelal che sto analizzando io,per l'appunto, scriviamo tutto per bene un'altra volta:

-la potenza che stiamo analizzando è questa: $ e^{-1+e^{-1+e^{-1+e^{...}}}} $
-questa potenza è definita per: $ a_0=e $ e $ a_{n+1}=e^{a_n-1} $
-per induzione (cosa che non sono in grado di fare, magari tra qualche giorno si) $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty $ (questo è quello che hai appena detto tu)
-però se io faccio, e ritorno al mio primo post, la sostituzione che ho fatto (secondo lo stesso procedimento con sui si può trovare il valore di una frazione continua) ottengo che x=1 (vedi appunto primo post.
-andando passo per passo poi, si vede bene come questa successione tenda ad un valore infinito crescendo sempre

dimmi se ora il problema è definito bene, e soprattutto cosa mi dici ora? dove sbaglio ancora?

[dario2994]

allora, a parte che con l'induzione me la cavo molto male (la sto studiando proprio in questo periodo per i conti miei)

è quella con il passo $ a_0=e $ quelal che sto analizzando io,per l'appunto, scriviamo tutto per bene un'altra volta:

-la potenza che stiamo analizzando è questa: $ e^{-1+e^{-1+e^{-1+e^{...}}}} $
-questa potenza è definita per: $ a_0=e $ e $ a_{n+1}=e^{a_n-1} $
-per induzione (cosa che non sono in grado di fare, magari tra qualche giorno si) $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty $ (questo è quello che hai appena detto tu)
-però se io faccio, e ritorno al mio primo post, la sostituzione che ho fatto (secondo lo stesso procedimento con sui si può trovare il valore di una frazione continua) ottengo che x=1 (vedi appunto primo post.

dimmi se ora il problema è definito bene, e soprattutto cosa mi dici ora? dove sbaglio ancora?

Tutto definito giusto... il punto è che $x=e^{x-1}$ lo puoi imporre solo una volta che hai mostrato che x è un reale (nota comunque che x=inf in qualche modo soddisfa l'equazione )

[staffo]

certo, quello l'avevo notato subito, ma era molto forzata come cosa, e quindi per ora avevo deciso di lasciarla lì un attimo (perchè se disegni il grafico x=inf non soddisfa proprio nulla)

ecco il punto essenziale che non capisco, perchè devo mostrare che x è un reale finito?