1,perché non è un primo?

[karlosson_sul_tetto]

è da un pò di tempo che mi chiedevo questo fatto:
A)"I numeri primi sono quei numeri che sono divisibili solo per 1 e per se stessi"
B)"1 è divisibile solo per 1 e per se stesso (cioé 1)"
C)"1 non è primo"
Mi chiedo: dato che 1 ha i requisiti suffiicienti (B) per soddisfare la definizione di primo (A), per quale ragione non è primo (C)
Grazie in anticipo per chi mi risponderà.

[Zorro_93]

è da un pò di tempo che mi chiedevo questo fatto:
A)"I numeri primi sono quei numeri che sono divisibili solo per 1 e per se stessi"
B)"1 è divisibile solo per 1 e per se stesso (cioé 1)"
C)"1 non è primo"
Mi chiedo: dato che 1 ha i requisiti suffiicienti (B) per soddisfare la definizione di primo (A), per quale ragione non è primo (C)
Grazie in anticipo per chi mi risponderà.

1 non viene considerato primo perchè senno non varrebbe il teorema fondamentale dell'aritmetica (in particolare l'unicità della fattorizzazione), infatti 1*2*5=1*1*2*3*5 (ad esempio).

Il fatto è che la A) è sbagliata: sarebbe "I numeri primi sono quei numeri maggiori o uguali a 2 che sono divisibili solo per 1 e per se stessi".

[karlosson_sul_tetto]

1 non viene considerato primo perchè senno non varrebbe il teorema fondamentale dell'aritmetica (in particolare l'unicità della fattorizzazione), infatti 1*2*5=1*1*2*3*5 (ad esempio).

Scusami, ma qual è questo teorema?

[<enigma>]

In realtà la definizione che hai dato tu è quella più comunemente usata ma più imprecisa e meno versatile: è correttissima, per carità, ma di solito se ne usa un'altra:
$ p\in \mathbb{P}\Leftrightarrow \forall a, b\in \mathbb{N} : p|ab, p|a\vee p|b $;
esempio: $ 6 $ divide $ 4 \cdot 9 =36 $ ma non divide né $ 4 $ né $ 9 $ e quindi non è primo. Forse hai già sentito parlare del lemma di Euclide... comunque ciò non esclude che 1 sia primo ma rivela di più sulla natura dei numeri primi. Il teorema a cui si riferisce Zorro_93 è:
Teorema fondamentale dell'aritmetica: dato $ n \in \mathbb N_0 $, la sua scomposizione in fattori primi è unica a meno dell'ordine dei fattori.
Se 1 fosse primo, tale teorema non varrebbe più perché $ 15=3 \cdot 5 =1 \cdot 3 \cdot 5 =1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 ... $. Diciamo che, che io sappia, non c'è nessun motivo matematico rigoroso perché 1 sia primo (se sbaglio correggetemi per favore), ma se lo fosse occorrerebbe riformulare in maniera molto più complicata molti teoremi.

PS: su http://it.wikipedia.org/wiki/1_(numero) si dice praticamente quel che ho scritto io in fondo. Vedi anche qui.

PPS: come metto i link che contengono parentesi?

[<enigma>]

Tagliamo la testa al toro con questa bella voce da vetrina! Un numero primo ha esattamente due divisori propri positivi, 1 e sé stesso: per 1 questi coincidono e quindi 1 ne ha soltanto uno. Se può aiutarti, guardati anche questa pagina sul teorema fondamentale e le sue estensioni.

[karlosson_sul_tetto]

Grazie!

P.S:anche se 1 ha un solo divisore,questo non conta anrche se i due divisori coincidono?

[<enigma>]

No, perché se conta anche se i due divisori coincidono solo 1 sarebbe primo. Mi spiego: se dici "1 ha due divisori, ovvero 1 e 1" potresti anche dire "2 ha tre divisori, 1, 2 e 2, quindi non è primo", e lo stesso per gli altri numeri primi. Il caso della coincidenza dei divisori fa sì che l'1 sia posto fuori dai numeri primi; diciamo che, volendo essere democratici, non è né primo né composto ma fa specie a sé.

[Tibor Gallai]

Tagliamo la testa al toro con questa bella voce da vetrina!

Ma santo iddio.
Povero toro, tagliamo la testa a chi linka wikipedia italiana!

In quella inglese c'è un articolo (ovviamente) migliore, che contiene anche una discussione sulla primalità di 1:
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number

Inoltre, cosa che dopo 7 post stranamente non è ancora stata detta, la definizione che perseverate nel dare è in realtà la definizione di elemento irriducibile. La definizione di primo è: p è primo sse non è 0, non è un'unità, e se p divide ab, allora divide a oppure b.
Sebbene tra gli interi "primo" coincida con "irriducibile", le due definizioni hanno senso più in generale, tra strutture in cui non necessariamente vale questa equivalenza.
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_element

Comunque se n'è già discusso parecchie volte nel forum, basta cercare.

[Nonno Bassotto]

Allora, cerchiamo di non fare confusione. 1 non è primo PER CONVENZIONE. Questa convenzione è molto comoda perché permette di enunciare alcuni risultati, come il teorema fondamentale dell'aritmetica, senza elencare eccezioni. Non ci sarebbe niente di male a scegliere una convenzione diversa, ma i matematici sono d'accordo nell'utilizzare questa.