Definizione di tangente
Il problema della definizione è risibile:
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{array}\right. $
questa funzione è definita in 0. Ma la tangente in (0,0) a y=f(x) ha una molteplicità di intersezione "infinita" e non si può distinguere da y=f(x)^2.
Secondo me la molteplicità algebrica confonde solo le idee, in quanto poi sui reali non può nemmeno essere descritta decentemente: ci sono curve che intersecano una retta una volta sola e questa non è tangente... la base della teoria di intersezione tra le curve è il teorema di Bezout che dice che due curve piane di grado m e n si intersecano in mn punti contatti con molteplicità. Ma questo è vero su C. Su R ci sono fenomeni strani, di cui si può render ragione spezzettando in casistica il discorso, ma allora si perde il senso di una definizione "unificante" come è quella di molteplicità di intersezione.
La tangente è ottimamente definita come la retta che "tange", ovvero per cui la distanza va a 0 più rapidamente possibile. E' un conto di trigonometria vedere che questo equivale a trovare la migliore approssimazione lineare (che secondo me dovrebbe essere il modo in cui uno studente capisce la derivata ... e non come "limite dei rapporti incrementali" che non si sa bene perché ci freghi fare sto cappero di limite ).
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{array}\right. $
questa funzione è definita in 0. Ma la tangente in (0,0) a y=f(x) ha una molteplicità di intersezione "infinita" e non si può distinguere da y=f(x)^2.
Secondo me la molteplicità algebrica confonde solo le idee, in quanto poi sui reali non può nemmeno essere descritta decentemente: ci sono curve che intersecano una retta una volta sola e questa non è tangente... la base della teoria di intersezione tra le curve è il teorema di Bezout che dice che due curve piane di grado m e n si intersecano in mn punti contatti con molteplicità. Ma questo è vero su C. Su R ci sono fenomeni strani, di cui si può render ragione spezzettando in casistica il discorso, ma allora si perde il senso di una definizione "unificante" come è quella di molteplicità di intersezione.
La tangente è ottimamente definita come la retta che "tange", ovvero per cui la distanza va a 0 più rapidamente possibile. E' un conto di trigonometria vedere che questo equivale a trovare la migliore approssimazione lineare (che secondo me dovrebbe essere il modo in cui uno studente capisce la derivata ... e non come "limite dei rapporti incrementali" che non si sa bene perché ci freghi fare sto cappero di limite ).
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[EDIT: anticipato ]
S'intende che vada estesa in x=0 a una funzione $ $C^\infty $, ponendo f(0)=0...
ln questo caso l'osservazione che devi fare è che tutte le derivate in 0 valgono 0.
S'intende che vada estesa in x=0 a una funzione $ $C^\infty $, ponendo f(0)=0...
ln questo caso l'osservazione che devi fare è che tutte le derivate in 0 valgono 0.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
domandina: ma perche' al liceo semplicemente non si danno dei "disclaimer"?
tipo "ci limitiamo al caso di funzioni ...., per gli altri casi vanno considerati altri fatti"
almeno uno ha le idee chiare che le cose non sono cosi' in generale, ma si sta vedendo solo un caso particolare
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impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
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Questo era quello che proponevo io: ci limitiamo al caso di funzioni algebriche, "per gli altri casi vanno considerati altri fatti." Però, come sempre in questi casi, sto cercando di migliorare la didattica, e voi mi avete dato alcuni suggerimenti molto interessanti.SkZ ha scritto:domandina: ma perche' al liceo semplicemente non si danno dei "disclaimer"?
tipo "ci limitiamo al caso di funzioni ...., per gli altri casi vanno considerati altri fatti"
almeno uno ha le idee chiare che le cose non sono cosi' in generale, ma si sta vedendo solo un caso particolare
Quanto alla oceanica ignoranza degli insegnanti di liceo, la situazione è ancora peggio di quello che si possa immaginare. Io sono certamente molto scarso, ma se voi conosceste alcuni miei colleghi...Tibor Gallai ha scritto: Perché i professori sono i primi a non saperlo.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
secondo me l'importante non e' voler strafare, ma rendere chiaro gli ambiti in cui le definizioni e dimostrazioni sono valide.
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Ne abbiamo avuto modo viewtopic.php?t=15126Kopernik ha scritto: Quanto alla oceanica ignoranza degli insegnanti di liceo, la situazione è ancora peggio di quello che si possa immaginare. Io sono certamente molto scarso, ma se voi conosceste alcuni miei colleghi...
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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Sarà pure ma risulta essere anche professore di matematica e fisica alle superiori e dunque collega di kopernik... che è un fatto allucinante:direi che è dunque un esempio della categoria riportata da kopernik più che un paragone con un altra categoria.
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
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