Definizione di tangente

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
Kopernik
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Definizione di tangente

Messaggio da Kopernik » 02 lug 2010, 09:03

Quale definizione di "retta tangente a una curva", secondo voi, potrebbe essere didatticamente più sensata? Parlo di scuola superiore. E' un argomento che abbiamo marginalmente toccato in altra parte del forum, ma mi piacerebbe conoscere più specificamente un po' di pareri, per coniugare, ove possibile, chiarezza e precisione.
All'Esame di Stato 2005 è uscito un quesito che iniziava con "Si dia la definizione di retta tangente a una curva" e ricordo che la domanda aveva gettato più di qualcuno nello sconforto.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 lug 2010, 09:31

Mah, la definizione c'è, ed è una sola: la migliore approssimante lineare della curva.
In che senso? beh, nel senso che, data la curva, diciamo, in forma implicita $ f(x,y)=0 $, supponendo che (0,0) sia un punto di essa, la tangente in tale punto sarà la retta data in forma implicita da $ r(x,y)=ax+by $ per cui la distanza tra i due insiemi tende a 0 "abbastanza" all'avvicinarsi a (0,0), ovvero tale che
$ \lim_{(x,y)\to0, r(x,y)=0}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}d( (x,y), \gamma)=0 $
con $ \gamma=\{f=0\} $.

Ovviamente questa non è una definizione da liceo. Del resto vorrei sapere qual è la definizione di curva che si da al liceo...

Un possibile modo per arrivare ad un concetto simile è quello di prove ed errori:
1. tangente = retta che interseca una volta sola --> controesempi ovvi (due rette incidenti sono tangenti?)
2. ma tanto c'è la derivata ---> tangente al massimo di una cubica la incontra un'altra volta
quindi tangere è un concetto "locale"
(eventualmente, casi patologici tipo $ f(x)=x^2\sin(1/x) $ in cui ogni intorno di 0 contiene un'intersezione tra la curva e la tangente in 0)
3. tangente = retta che "tocca" di più = tra lei e la curva c'è meno aria possibile: prendendo una palla di raggio r attorno al punto di intersezione, supponiamo di saper dire qual è l'area tra le due curve e prendiamo il limite Areatralecurve/(Areadellapalla) per r-->0 ... tale limite deve essere 0.
4. tangente = migliore approssimazione ---> f(x)-mx-q deve tendere a 0 più velocemente di x (quindi divisa per x deve fare 0 cmq al limite).

per giustificare i vari concetti si può far ricorso a idee della geometria o della fisica:

area<--->angolo, quindi il punto 3 è in un certo senso equivalente a dire che nel punto la curva e la retta "facciano un angolo nullo"

approssimante lineare<--->approssimazione di un moto generico con quello uniforme su piccoli intervalli<--->derivata e velocità istantanea<--->tangente e vettore velocità

casi strani tipo la cuspide x^2=y^3 andrebbero a questo punti analizzati in qualche dettaglio.

Ovviamente, tutto questo supponendo che al ministero abbiano dei neuroni ... ma secondo me volevano la formula della tangente o qualcosa di simile.
"data la curva y=f(x), con f derivabile, la sua tangente al punto (x0, f(x0)) è la retta y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)".

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 02 lug 2010, 13:24

EvaristeG ha scritto:Del resto vorrei sapere qual è la definizione di curva che si da al liceo...
Infatti hai ragione, il problema nasce proprio da qui. Direi che una curva, al liceo, è un insieme di punti del piano per cui vale la definizione di continuità. Ovviamente la definizione di continuità è un concetto che matura anno dopo anno, fino alla quinta dove puoi parlarne in modo (quasi) preciso. In prima una curva continua è quella che si disegna senza staccare la matita dal foglio.
EvaristeG ha scritto: Un possibile modo per arrivare ad un concetto simile è quello di prove ed errori:
1. tangente = retta che interseca una volta sola --> controesempi ovvi (due rette incidenti sono tangenti?)
Infatti non va bene: tutte le rette parallele all'asse di una parabola sarebbero a essa tangenti.
EvaristeG ha scritto: 2. ma tanto c'è la derivata ---> tangente al massimo di una cubica la incontra un'altra volta
quindi tangere è un concetto "locale"
(eventualmente, casi patologici tipo $ f(x)=x^2\sin(1/x) $ in cui ogni intorno di 0 contiene un'intersezione tra la curva e la tangente in 0)
Questa definizione però va rivista caso per caso: quello che vale per una cubica non ve bene per una quartica, e così via.
EvaristeG ha scritto: Ovviamente, tutto questo supponendo che al ministero abbiano dei neuroni ... ma secondo me volevano la formula della tangente o qualcosa di simile.
"data la curva y=f(x), con f derivabile, la sua tangente al punto (x0, f(x0)) è la retta y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)".
Sicuramente la dose di neuroni al ministero è scarsa. Probabilmente la risposta che si aspettavano è quella che dici tu, mentre gli studenti hanno cercato definizioni geometriche e si sono persi.
Grazie comunque della risposta articolata. Cosa ne pensi di una definizione di tipo "algebrico", basata cioè sulla molteplicità dell'intersezione? E' una definizione che si adatta abbastanza facilmente a tutte le curve non trascendenti. Per quelle trascendenti, l'unico modo "scolastico" mi sembra quello della derivata, che comunque parte dall'idea che retta e curva abbiano in comune (almeno) due punti coincidenti.
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Messaggio da fph » 02 lug 2010, 13:41

EvaristeG ha scritto: 4. tangente = migliore approssimazione ---> f(x)-mx-q deve tendere a 0 più velocemente di x (quindi divisa per x deve fare 0 cmq al limite).
Mi sembra la più chiara da comprendere tra quelle che avete detto...
In più è praticamente come si definisce la derivata di Fréchet, no?

Un'altra possibilità è il limite a cui tende la retta per due punti A,B, entrambi sulla curva quando B tende ad A (se ci tende, se no nulla). C'è da barare perché non è ben chiaro cosa sia il limite di una retta, ma del resto tutta l'analisi che si fa al liceo è fondata sul barare sui concetti base come "limite", "continuità" e "numero reale", no?
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Messaggio da Kopernik » 02 lug 2010, 14:04

fph ha scritto:
EvaristeG ha scritto: del resto tutta l'analisi che si fa al liceo è fondata sul barare sui concetti base come "limite", "continuità" e "numero reale", no?
Fino in quinta si bara selvaggiamente, soprattutto in fisica. In quinta cerchiamo di barare il meno possibile. La definizione topologica di limite (limtatamente ai numeri reali) non mi sembra una truffa. Cerchiamo di essere formali quanto possibile. Per i numeri reali uso le classi contigue (metodo di Cantor), ma so di qualche collega che introduce anche le sezioni di Dedekind. Quindi si bara, ma in quinta si cerca di risistemare le cose.
Come vi ho già scritto in altre circostanze, ritengo che l'imbroglio più grave sia quello sul teorema di Weierstrass.
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Messaggio da fph » 02 lug 2010, 15:02

Kopernik ha scritto:Fino in quinta si bara selvaggiamente, soprattutto in fisica. In quinta cerchiamo di barare il meno possibile.
Capito, interessante. C'è molta più "sostanza" di quanto mi ricordavo dagli anni del mio liceo. Ritiro il commento sul barare allora... :)
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Messaggio da EvaristeG » 03 lug 2010, 19:19

La definizione algebrica funziona giust'appunto solo nel caso algebrico, cioè per curve descritte come zeri di polinomi. La molteplicità di intersezione può essere poi definita tra curve generiche parlando del numero di derivate che si annullano, ma così bisogna ammettere molteplicità di intersezione infinita.

La definizione di migliore approssimante funziona, ma ovviamente è "meno geometrica" di quel che ci si aspetterebbe... La retta che più sta attaccata alla funzione (distanza o area) non è detto che sia la funzione lineare che la approssima meglio (distanza lungo rette parallele all'asse y).

La faccenda del limite delle secanti è la solita e classica, ma può fuorviare facendo credere che tutte le funzioni da vicino siano circonferenze...

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Messaggio da Nonno Bassotto » 04 lug 2010, 03:59

EvaristeG ha scritto:La retta che più sta attaccata alla funzione (distanza o area) non è detto che sia la funzione lineare che la approssima meglio (distanza lungo rette parallele all'asse y).
puoi spiegare meglio cosa intendi? La tangente definita come retta che approssima al primo ordine non dipende dalla scelta dell'asse y. Se ruoti il sistema di riferimento, resta la stessa. Mi sa che non ho capito cosa intendi.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

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Messaggio da EvaristeG » 04 lug 2010, 09:21

Lo so che non dipende... ma non è ovvio che non lo faccia. Almeno, non è ovvio che (non prima di scrivere i limiti) la retta y=r(x) per cui f(x)-r(x) tende a 0 abbastanza velocemente (distanza "verticale" tra i due punti del grafico) , è la retta per cui d ( (x,r(x)), \gamma) tende a 0 abbastanza velocemente (distanza tra i punti di uno e l'altro grafico).
So che è la stessa cosa, ma, senza fare quei due conti, può non sembrar la stessa e secondo me non è intuitivo per tutti che lo sia.

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Messaggio da amatrix92 » 04 lug 2010, 20:27

EvaristeG ha scritto: 2. ma tanto c'è la derivata ---> tangente al massimo di una cubica la incontra un'altra volta
quindi tangere è un concetto "locale"
Scusami Galois, ma non ho capito bene questa cosa.

A me a scuola l'hanno insegnata come la retta che ha come coefficiente angolare la derivata prima della curva con la formula che ha scritto qualcuno sopra di me.
Non capisco però cosa ci sia di "sbagliato" o comunque "incompleto" rispetto all'altra definizione da te citata come "ufficiale ma non liceale". Inoltre non capisco cosa intendi per "locale".

Grazie :)
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Messaggio da EvaristeG » 04 lug 2010, 22:06

Allora, intanto tu non hai curve scritte come $ y=f(x) $, ma, in generale, cose scritte come $ F(x,y)=0 $.

Poi, io parlavo del legare la definizione di tangente ad un concetto più o meno intuitivo di tangente: retta che tocca "al meglio", retta che tocca una volta sola (opposta a secante), retta che approssima ... a priori sono cose diverse.

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Messaggio da Kopernik » 05 lug 2010, 17:39

EvaristeG ha scritto:La definizione algebrica funziona giust'appunto solo nel caso algebrico, cioè per curve descritte come zeri di polinomi. La molteplicità di intersezione può essere poi definita tra curve generiche parlando del numero di derivate che si annullano, ma così bisogna ammettere molteplicità di intersezione infinita.
Infatti io pensavo di dare la definizione algebrica, che può essere poi applicata facilmente alle curve algebriche, e che quindi puoi usare tranquillamente in terza dove si svolgono solo coniche e le tangenti si trovano annullando un discriminante (o, in casi più complicati, risolvendo equazioni che hanno due o più soluzioni coincidenti). Quando poi passi alle funzioni trascendenti, in quinta, fai vedere che non puoi cavartela così facilmente e introduci il concetto di derivata che, a questo punto, diventa una logica conseguenza della definizione data in precedenza: la retta tangente si trova facendo tendere un punto variabile lungo la curva verso un altro prefissato.
Non ho capito cosa ti riferisci parlando di molteplicità di intersezione infinita; né quale sia il problema nel "credere" che tutte le funzioni da vicino siano circonferenze.
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Messaggio da Tibor Gallai » 05 lug 2010, 17:46

T'ha fatto anche l'esempio, $ $f(x)=x^2\sin(1/x) $.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Messaggio da EvaristeG » 05 lug 2010, 21:16

Quello è un esempio (il problema è che non è C^2 in 0).
O se vuoi, trovami la molteplicità di intersezione tra l'asse delle x e la funzione $ y=e^{-1/x^2} $.

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 05 lug 2010, 21:50

EvaristeG ha scritto:Quello è un esempio (il problema è che non è C^2 in 0).
O se vuoi, trovami la molteplicità di intersezione tra l'asse delle x e la funzione $ y=e^{-1/x^2} $.
D'accordo, ho capito cosa intendi (peraltro $ y=e^{-1/x^2} $ non è definita in $ x=0 $ e solitamente a livello scolastico non si parla di tangente in un punto dove la funzione non è definita). Questo conferma che il problema della definizione di tangente a livello scolastico è una questione molto delicata. Spesso i nodi didattici sono i concetti basilari (apparentemente semplici) e non i teoremi più temuti. Mi diceva un amico che insegna all'Università che all'esame di fisica I trova studenti che sanno dimostrare il teorema di Steiner ma crollano se gli chiedi "cos'è la velocità?". Mi piacerebbe, là dove non posso fornire trattazioni rigorose, dare delle idee sensate che non rovinino gli studenti e non costringano i docenti universitari a estirpare concetti sbagliati.
Grazie a tutti per i consigli.
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