funzioni miste

[danielf]

leggendo alcuni problemi sulle funzionali,ho visto che alcuni utenti dicevano di verificare che non ci fossero funzioni miste..ma non so cosa siano..
chiarimenti?
grazie..

[EvaristeG]

Nulla di formale o matematico ... non è una definizione, semplicemente può capitare che, ad esempio, in un'equazione funzionale tu scopra che deve valere
$ f(x)^2-1=0 $ per ogni x
allora tu ovviamente puoi affermare che
$ f(x)=1 $ oppure $ f(x)=-1 $ per ogni x.
Ma non puoi subito dire che le funzioni che risolvono questa cosa sono solo le due funzioni costantemente uguali a 1 o -1.
Potrebbe ad esempio esserci una soluzione che vale 1 in 0 e -1 altrove, oppure la funzione
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x\in\mathbb{Q}\\-1&x\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right. $
o altre cose.
Queste potresti, con un po' di licenza poetica, chiamarle funzioni miste... ma, ripeto, non è un termine rigoroso, non c'è una definizione.

[danielf]

Nulla di formale o matematico ... non è una definizione, semplicemente può capitare che, ad esempio, in un'equazione funzionale tu scopra che deve valere
$ f(x)^2-1=0 $ per ogni x
allora tu ovviamente puoi affermare che
$ f(x)=1 $ oppure $ f(x)=-1 $ per ogni x.
Ma non puoi subito dire che le funzioni che risolvono questa cosa sono solo le due funzioni costantemente uguali a 1 o -1.
Potrebbe ad esempio esserci una soluzione che vale 1 in 0 e -1 altrove, oppure la funzione
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x\in\mathbb{Q}\\-1&x\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right. $
o altre cose.
Queste potresti, con un po' di licenza poetica, chiamarle funzioni miste... ma, ripeto, non è un termine rigoroso, non c'è una definizione.

chiaro

[danielf]

E come verifico che non ce ne siano?

[Il_Russo]

La verifica dipende sempre dall'esercizio che si ha davanti, e varia da caso a caso. Suggerimento: se la verifica non riesce dopo numerosi tentativi probabilmente queste soluzioni "miste" sono anche accettabili (sostituire nell'equazione iniziale per esserne certi). Potrebbero anche esserci dei casi in cui è palese l'accettabilità di una soluzione del genere.

[Nonno Bassotto]

Per chiarire: è praticamente impossibile verificare che non ci siano "funzioni miste", perché questa cosa non è nemmeno ben definita. Di solito quando si cerca di trovare tutte le soluzioni ad un'equazione funzionale si procede in un altro modo: si manipola un po' l'equazione fino a che non si trovano abbastanza restrizioni sulla soluzione da determinarla completamente. Infine si verifica che l'unica (o uniche) funzione candidata ad essere soluzione lo sia, per sostituzione diretta.

Quello che non si fa, perché di solito non è fattibile, è provare prima con le funzioni fatte così, poi con quelle fatte cosà, per il semplice fatto che non si copriranno mai tutti i casi possibili. Mi rendo conto che così in astratto non è molto chiaro, ma sfogliando un po' di topic sulle equazioni funzionali, il procedimento dovrebbe essere chiaro (anche se poi risolverle è tutto un altro paio di maniche).