Esistono anche funzioni NON continue?

[amatrix92]

esistono funzioni continue che non siano definite in più parti, del tipo f(x) = e^x per x < 0 e x^2 per x maggiore di 0, questa funzione è palesemente non continua nello zero; ma ne esistono ( possibilemnte in R ) funzioni non continue in un punto ( in cui sono definite) formate da una sola espressione?
Io ho pensato di no, perchè le funzione fondamentali (continue) se vengano composte, sommate, divise, moltiplicate, sottratte o altro tra loro rimangonontinue...

Edit : ho riscritto la formula perchè se mettevo i simboli minore e maggiore senza Latex mi tagliava un po' di roba..

[Spammowarrior]

la parte intera di x, la mantissa (cioè la parte frazionaria), e le loro funzioni composte

[julio14]

funzioni [...] formate da una sola espressione?

se vuoi fare un favore a te stesso, cancella dalla tua testa questo concetto.

[edriv]

Perchè dovrebbe cancellare dalla testa un concetto che è così intuitivo a tutti? Sarebbe un crimine. Molto meglio cercare di chiarirlo.

Quello di "funzione definita da una singola espressione" certamente non è un concetto altrettanto "ben definito" quanto intuitivo.
La sua ambiguità però dipende essenzialmente da:
- quali funzioni si accettano come "primitive"
- quali modi di mettere assieme funzioni si accettano come "primitivi"

L'osservazione di amatrix che, se tanto i primi quanto i secondi sono continui, allora ogni funzione definita da una sola espressione è continua, secondo me è intelligente e corretta.

Spammowarrior vuole annoverare tra le sue funzione "primitive" anche la parte intera e la parte frazionaria: certo, queste due sono funzioni discontinue alle quali è associato un simbolo convenzionale (rispettivamente $ [x] $ e $ \{ x \} $).

[julio14]

La sua ambiguità però dipende essenzialmente da:
- quali funzioni si accettano come "primitive"
- quali modi di mettere assieme funzioni si accettano come "primitivi".

Così però cambi le carte in tavola... Rendere formale in modo arbitrario un concetto intuitivo fornito dall'analisi liceale e che rimarrà inutile finché non si allontanerà dal suo proposito iniziale, non mi pare un modo di chiarire la questione. Poi, eh, de gustibus.

[amatrix92]

funzioni [...] formate da una sola espressione?

se vuoi fare un favore a te stesso, cancella dalla tua testa questo concetto.

parli del concetto di "unica espressione" o il concetto che appunto un'"unica espressione" non può avere limiti non continui? In ogni caso perchè dovrei cancellarlo? Non fraintendermi; accetto il consiglio se costruttivo, ma quanto meno vorrei capire dov'è che è sbaglio .

Quello di "funzione definita da una singola espressione" certamente non è un concetto altrettanto "ben definito" quanto intuitivo.
La sua ambiguità però dipende essenzialmente da:
- quali funzioni si accettano come "primitive"
- quali modi di mettere assieme funzioni si accettano come "primitivi"

Era proprio questo che volevo sapere, io non ho un concetto di primitive. in genere chiedevo se tra le classiche funzioni trattate in un classico libro di analisi ci fossero funzioni definite tutte dalla stessa espressione e non definite a tratti da una e a tratti da un'altra, continue.

Le funzioni di spammowarrior utilizzano una simbologia a me sconosciuta (pardon l'ignoranza )

Per quanto riguarda i modi di metterele insieme, be anche qui mi rifaccio al libro di analisi di un liceale. Infatti ho scritto, per quel che ne so io non ne esistono, voi ( che avete molte più conoscenze di me) ne conoscete?

[julio14]

Quello che dico è che la distinzione tra funzioni esprimibili con una sola espressione e non è apparente e non reale. Ogni funzione è definita su ogni suo punto, e stop. Il fatto di definirla a "pezzi" vuol dire semplicemente che hai delle notazioni (e, bada bene, sono solo notazioni) che riassumono brevemente i valori della funzione su certi sottoinsiemi del dominio. Ad esempio, se definisci una funzione per valori minori di zero come sin(x) e per maggiori o uguali come 5x, quello che hanno in comune i punti minori di zero è solo che hai già definito da qualche altra parte una notazione che riassume i valori che vuoi dare alla funzione. Ma il fatto esista già una notazione per la funzione sui numeri minori di zero non ti dice niente sulla funzione stessa.

Poi, quello che dice edriv è (ovviamente) sensato, ma a mio parere centra poco con il discorso: per farti un esempio un modo di caratterizzare le funzioni lineari da R a R è questo.

Definiamo un insieme $ $L $ come l'intersezione degli insiemi $ A $ di funzioni che rispettano queste condizioni:
l'identità appartiene ad $ $A $ (e questa sarebbe la primitiva)
dati $ $\lambda\in [-1,1] $ e $ $f\in A $, $ $\lambda f\in A $ e $ $f+\lambda\in A $ (questi sarebbero i modi di mettere insieme funzioni)

Il problema è che l'insieme delle funzioni "esprimibili con un'espressione" (così ad occhio: costanti, potenze di x, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e le loro combinazioni tramite somma, moltiplicazione, divisione, composizione) è privo di interesse, perché è semplicemente l'insieme delle funzioni "che si vedono a scuola".

[Ani-sama]

Come già è stato detto, il fatto di definire le funzioni come "espressioni a tratti" non è significativo ed è meglio che non appaia come tale a chi studia. Bisogna capire che una funzione è, d'accordo, una "legge", ma tale "legge" non deve essere per forza data da una formula con somme, prodotti eccetera. Può essere una "legge" del tutto arbitraria; c'è molta libertà di scelta, insomma.

Comunque, se vuoi una funzione addirittura discontinua in ogni punto, puoi prendere la funzione caratteristica di $ \mathbb Q $ in $ \mathbb R $. È denotata con $ \mathbf{1}_{\mathbb Q} $, ed è definita da $ \mathbb R $ a $ \{0,1\} $ mediante:

$ \displaystyle \mathbf{1}_{\mathbb Q} (x)= \begin{cases} 1 & \text{se $x \in \mathbb Q$} \\ 0 & \text{se $x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$} \end{cases} $.

Vero è che si tratta di una "definizione a tratti", ma d'altra parte non mi sembra nulla di particolarmente strano.

[amatrix92]

Quello che dico è che la distinzione tra funzioni esprimibili con una sola espressione e non è apparente e non reale. Ogni funzione è definita su ogni suo punto, e stop. Il fatto di definirla a "pezzi" vuol dire semplicemente che hai delle notazioni (e, bada bene, sono solo notazioni) che riassumono brevemente i valori della funzione su certi sottoinsiemi del dominio. Ad esempio, se definisci una funzione per valori minori di zero come sin(x) e per maggiori o uguali come 5x, quello che hanno in comune i punti minori di zero è solo che hai già definito da qualche altra parte una notazione che riassume i valori che vuoi dare alla funzione. Ma il fatto esista già una notazione per la funzione sui numeri minori di zero non ti dice niente sulla funzione stessa.

Poi, quello che dice edriv è (ovviamente) sensato, ma a mio parere centra poco con il discorso: per farti un esempio un modo di caratterizzare le funzioni lineari da R a R è questo.

Definiamo un insieme $ $L $ come l'intersezione degli insiemi $ A $ di funzioni che rispettano queste condizioni:
l'identità appartiene ad $ $A $ (e questa sarebbe la primitiva)
dati $ $\lambda\in [-1,1] $ e $ $f\in A $, $ $\lambda f\in A $ e $ $f+\lambda\in A $ (questi sarebbero i modi di mettere insieme funzioni)

Il problema è che l'insieme delle funzioni "esprimibili con un'espressione" (così ad occhio: costanti, potenze di x, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e le loro combinazioni tramite somma, moltiplicazione, divisione, composizione) è privo di interesse, perché è semplicemente l'insieme delle funzioni "che si vedono a scuola".

Che bella risposta!! e non sono assolutamente ironico, ti assicuro che mentre la leggevo avevo un gran bel sorriso in bocca e due occhi affamati di conoscenza , mi hai apeto la mente. La mia domanda non ha senso , ha forse un senso nell'analisi "che ci fanno vedere a scuola" perchè è applicabile nell'insieme delle funzioni e delle loro combinazioni "scolastiche".

Da qui però capisco molte cose: mi sembra prorpio sbagliato il modo in cui una funzione ci viene proposta al liceo! ci vengono proposte le classiche funzioni logaritmiche, trigonometriche, algebriche, vengono fatti imparare (a memoria) i loro grafici, imparare a fare tra loro composizioni somma etc. e poi ci dicono, volendo una funzione la puoi esprimere con una forma analitica per un pezzo dell'insieme di definizione, con un'altra forma analitica per quest'altro pezzo, metti il simbolo di sistema ed indichi la funzione attraverso "l'unione di tanti pezzi di funzione".
Ora invece mi rendo conto (l'ho appena letto dal tuo post) che il ragionamento da fare è quello opposto, partire del concetto e dalla definizione di funzione ( di A in B)che per ogni elementodi un insieme A associa uno e un solo elemento di B, che poi "pezzi" di questa associazione ( che ne so da -inf a 0 ) vengano descritti da una notazione definita da qualche altra parte perchè i punti di una e dell'altra corrispondono, questo è solo un " optional ".

Alla fine il risultato è lo stesso, ma credo sia completamente diverso il primo concetto dal secondo che ho descritto.
Non ho cancellato dalla testa quel concetto, ma ho capito come sistemarlo. Grazie

P.s: scusate per la terminologia non sempre (quasi mai) adeguata

[Pigkappa]

Veramente, a scuola non credo proprio che dicano che le funzioni sono le cose esprimibili come una formula, oppure esprimibili con diverse formule su tratti diversi. Molti studenti si convincono di questa cosa perchè gli esercizi che si fanno in analisi riguardano soprattutto funzioni definite a tratti con delle formule, ma la colpa è più loro che altro.


[fisico non teorico]Comunque, è evidente che nel mondo funzioni come $ \displaystyle 1_{\mathbb{Q}} $ non esistono [/fisico non teorico]

[Tibor Gallai]

Veramente, a scuola non credo proprio che dicano che le funzioni sono le cose esprimibili come una formula, oppure esprimibili con diverse formule su tratti diversi. Molti studenti si convincono di questa cosa perchè gli esercizi che si fanno in analisi riguardano soprattutto funzioni definite a tratti con delle formule, ma la colpa è più loro che altro.

A proposito: confondere funzioni con formule non è molto più grave che confondere polinomi con funzioni polinomiali.

[Il_Russo]

$ \displaystyle \mathbf{1}_{\mathbb Q} (x)= \begin{cases} 1 & \text{se $x \in \mathbb Q$} \\ 0 & \text{se $x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$} \end{cases} $.

[OT = "curiosità matematica"]
$ \displaystyle 1_{\mathbb{Q}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{m \rightarrow \infty} \left(\cos{(2\pi n! x)}\right)^m $
[/OT]

[Spammowarrior]

@julio14

perchè dovrebbe dimenticarsi il concetto di "funzione definita con un'unica formula?
mica è un concetto sbagliato
sarebbe sbagliato se pensasse che quelle sono le uniche funzioni, ma non mi sembra che l'abbia scritto. sono d'accordo con edriv, è bene che abbia le idee chiare in testa, ma il concetto di per se non è sbagliato ed è anche abbastanza comodo. poi hai anche tu ragione a precisare, perchè hai chiarito dei dubbi.
colpa mia che ho interpretato male la domanda, pensavo chiedesse "tra le funzioni più importanti".

@edriv: ho considerato la parte intera di x una funzione fondamentale semplicemente perchè facendo esercizi di algebra o teoria dei numeri me ne è risultata utile la conoscenza, non per altro. d'altronde a scuola mi è stata presentata come un esempio di funzione con infinite discontinuità.

@amatrix non sono funzioni comunissime, ma penso che prima o poi le accenneranno anche in classe.
la parte intera ha un andamento "a scalini"
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28x%29
mentre la parte frazionaria ha un grafico "a dente di sega"
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-int(x)
se provi un po' a maneggiare queste due funzioni ottieni dei risultati interessanti, come la parte frazionaria dell'inverso di x:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2Fx%29mod+1

ah, un altra cosa, funzioni continue in N e Q non esistono, perchè gli insiemi di definizione sono fatti unicamente di punti isolati

[SkZ]

@julio14

perchè dovrebbe dimenticarsi il concetto di "funzione definita con un'unica formula?
mica è un concetto sbagliato
sarebbe sbagliato se pensasse che quelle sono le uniche funzioni, ma non mi sembra che l'abbia scritto. sono d'accordo con edriv, è bene che abbia le idee chiare in testa, ma il concetto di per se non è sbagliato ed è anche abbastanza comodo. poi hai anche tu ragione a precisare, perchè hai chiarito dei dubbi.
colpa mia che ho interpretato male la domanda, pensavo chiedesse "tra le funzioni più importanti".

perche' tali funzioni in realta' non esistono.
esistono solo funzioni con nomi ormai standardizzati.
prova a farmi un esempio e vedrai che in realta' non e' definita da una formula.
O per lo meno tali funzioni" penso si possano ridurre alle sole trasformazioni lineari

[ma_go]

ficco il naso anch'io in questa discussione:
- prima cosa: una funzione $ f:A\to B $ e' un sottoinsieme di $ \Gamma_f = A\times B $ tale che per ogni $ a\in A $ esiste un unico $ b\in B $, denotato $ f(a) $ tale che $ (a,b)\in \Gamma_f $ (detto in modo piu' allegro, "una funzione e' il suo grafico").
- seconda cosa: questa definizione non illumina particolarmente, perche' a questo punto uno si chiede come sono fatti i sottoinsiemi di $ A\times B $, diciamo $ \mathbb{R}\times\mathbb{R} $ per comodita', e se sono tutti "esprimibili con una formula" o qualcosa di simile. escludere questo fatto richiede ragionamenti piu' sottili, che sicuramente esulano dal glossario e di certo non sono "teoria di base".
- terza ed ultima cosa: parlare di "funzioni costruibili a partire da funzioni elementari", nel modo delineato prima da edriv e poi da julio14, ha perfettamente senso e ha dato origine a problemi di un certo interesse (direi sia folkloristico, sia pratico, sia matematico) in passato; che mi venga in mente, c'e' il classico problema di capire quali funzioni "elementari" siano "integrabili tramite funzioni elementari" e quali no.