Limite notevole: e

[amatrix92]

Visto che il nostro professore non ci ha fornito la dimostrazione .. e io dopo un po' di tempo ke ci sbattevo la testa non riuscivo a cavarne le gambe, qualcuno possiede o sa fare una dimostrazione del limite: $ \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}( 1+\frac{1}{x}) ^x = e $, ovviamente suppongo che per dimostrare questo limite vada utilizzata l'altra definizione del numero $ e = $ $ \displaystyle \sum_ {n=0}^{\floor \infty} \frac {1}{n!} $

Ho cercato un po' sul forum e ho trovato questo:

viewtopic.php?t=10041&highlight=numero+nepero

in cui phi dice che si può dimostrare ma non lo dimostra.

[Zorro_93]

Ciao, prova a guardarti questo

http://www.youtube.com/watch?v=9v25gg2q ... r_embedded

E' una lezione che spiega come derivare $ a^x $, e alla fine trovi anche quello che cerchi tu.

[Tibor Gallai]

Per carità... Non mi ricordo chi abbia linkato quel video tempo fa, ma quando lo guardai lo trovai veramente pessimo. Non solo non chiarisce le cose, ma può davvero confondere le acque e non far capire più nulla. Quella è una lezione che vedrei bene per un pubblico di ingegneri (al solito, con tutto il rispetto per la categoria, etc etc).

Il mio personale bollino è: must NOT watch.

Per vedere quella dimostrazione, c'è per esempio en.wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Characteri ... erizations

[Tibor Gallai]

Ecco qua la vecchia discussione:
viewtopic.php?t=12113

[amatrix92]

Ecco qua la vecchia discussione:
viewtopic.php?t=12113

OK, grazie non l'avevo trovata

[ale.b]

se aspetti di fare le derivate puoi dimostrarlo con il teorema di de l'hopital

[Tibor Gallai]

Concordo, con de l'Hopital puoi dimostrare che la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata. Non fa una piega.

Poi mi sembra che tutti vogliano per forza spingere verso l'uso di Taylor, e allora lo dico chiaro e tondo: questa cosa è brutta esteticamente, e si presta anche ad una caterva di possibili errori tipo "ragionamenti circolari". Ci sono vari modi possibili di costruire le funzioni esponenziali ed arrivare alla formula di Taylor, e non tutti sono compatibili coi discorsi che vorreste fare. Tutto ciò senza contare che usare cose "avanzate" tipo Taylor senza padroneggiarle può portare facilmente a prendere cattive abitudini tipo non controllare i raggi di convergenza.

E allora mi chiedo: perché non evitare tutto questo giro tremendo, considerando semplicissimamente la dimostrazione di en.wikipedia che ho linkato, che usa solo la definizione di limite? Boh.

[SkZ]

se aspetti di fare le derivate puoi dimostrarlo con il teorema di de l'hopital

Concordo, ovviamente, con Tibor: se non hai fatto le derivate come fai ad usare la regola di Bernoulli (o de l'Hopital)?

In effetti usando male Taylor si possono ottenere dei risultati alquanto bizzarri

[ale.b]

Concordo, ovviamente, con Tibor: se non hai fatto le derivate come fai ad usare la regola di Bernoulli (o de l'Hopital)?

se aspetti di fare le derivate puoi dimostrarlo con il teorema di de l'hopital

infatti ho scritto che dovrebbe aspettare per poterlo provare così e a quel punto la dimostrazione diventerebbe del tutto banale

[Tibor Gallai]

Allora forse c'è un equivoco. Cosa esattamente intenderesti dimostrare con de l'Hopital? Se intendi dimostrare il limite notevole

$ $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1 $,

ovviamente ti stai mordendo la coda, perché quel limite è usato per calcolare la derivata di $ $e^x $, e non viceversa.
Se invece intendi usare de l'Hopital da un'altra parte, allora spiegati...

[ale.b]

premetto che è probabilissimo che stia dicendo una castroneria (nel caso fatemelo ovviamente notare), comunque...
$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{x+1}{x}) ^x = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}e^{xlog(\frac{x+1}{x})} $
calcolando il limite dell'esponente con de l'hopital si ha
$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}{xlog(\frac{x+1}{x})} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{log(\frac{x+1}{x})}{\frac{1}{x}} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{x}{x^2(x+1)}}{\frac{1}{x^2}} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x}{x+1} = 1 $
quindi
$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{x+1}{x}) ^x = e^1 = e $

[Tibor Gallai]

E' circa tutto il thread che si parla di ragionamenti circolari (sia in questo thread, sia nei suoi numerosissimi "fratelli gemelli"), ma repetita iuvant:
nei calcoli hai usato la formula per la derivata del logaritmo. Come hai dimostrato quella formula? E come hai definito e?

[ale.b]

almeno ora ho capito dov'è la pecca...

[Spammowarrior]

c'è scritto anche da qualche parte nella pagina di wiki, ma magari fa comodo riportarlo qui:
storicamente, non si è dimostrato che quel limite notevole equivale ad e.
si è invece dimostrato che quella funzione converge su un reale, e si è chiamato quel numero "e" (c'è una bella differenza )
poi si sono scoperte un sacco di cose interessanti su quel particolare valore, per esempio la definizione alternativa di e come sommatoria infinita, o la sua trascendenza, o il fatto che la sua funzione esponenziale ha derivata e integrale uguali a se stessa (che alla fin fine è il principale motivo per cui ce ne sbatte qualcosa di questo numero ).