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Omotetie..

Inviato: 30 gen 2010, 13:41
da Il re
La somma di due omotetie è sempre un'omotetia? come si dimostra?

Inviato: 30 gen 2010, 15:22
da Gatto
"Somma" non mi sembra il termine più appropriato. Se parli di composizione, la risposta è affermativa e ti basta fare i calcoli per verificarlo (così vedi anche di che omotetia si tratta...)

Inviato: 30 gen 2010, 16:22
da Il re
come faccio a fare i calcoli?c'è una formula con il piano cartesino?

Inviato: 30 gen 2010, 16:52
da Tibor Gallai
Calma, non sempre è un'omotetia.
Le similitudini sono chiuse per composizione, le omotetie no.
Vale la pena di capire, come esercizio, quando la composizione di 2 omotetetie è un'omotetia (ed in tal caso esplicitarne il centro), e quando non lo è (ed in tal caso scoprire cos'è).

Inviato: 30 gen 2010, 17:12
da Gatto
Si in effetti mancava un'ipotesi aggiuntiva :roll:

Inviato: 30 gen 2010, 18:48
da Il re
Ci ho pensato su, però non mi convince, quindi chiedo aiuto :P ...scrivo quello che mi è venuto in mente, così se è sbagliato vi fate due risate..
allora: prendo un punto di coordinate (x;y) e voglio fare l'omotetia di centro (x_a;y_a) e di valore k prima, poi comporla con quella di centro (x_b;y_b) di valore h.


L'omotetia di centro (0;0) e di valore j manda un punto p(x;y) in uno p'(jx;jy)


quindi trasolo in modo da far coincidere il centro della prima omotetia con l'origine:
$ p(x;y)\to p'(x-x_a;y-y_a) $ e ora faccio l'omotetia: $ p'\to p''(kx-kx_a;ky-ky_a) $, quindi traslo di nuovo per far tornare il centro dell'omotetia dov'era prima:$ p''\to p'''(kx-kx_a+x_a;ky-ky_a+y_a) $

Ora rifaccio lo stesso lavoro con la seconda:
traslo:$ p'''\to p''''(kx-kx_a+x_a-x_b;ky-ky_a+y_a-y_b) $
omotetia:$ p''''\to p^V(hkx-hkx_a+hx_a-hx_b;hky-hky_a+hy_a-hy_b) $
traslo: $ p^V\to p^{VI}(hkx-hkx_a+hx_a-hx_b+x_b;hky-hky_a+hy_a-hy_b+y_b) $..questa cosa è un omotetia solo se h=k, o uno tra k e h è 1..penso... :oops:

Inviato: 30 gen 2010, 21:52
da Tibor Gallai
Non ho letto i contazzi, ma le conclusioni a cui arrivi non corrispondono con le mie (e temo che le mie siano esatte).

Per semplificarti la vita, osserva che ragionare in dimensione n (per n=2) non è necessario: ragiona in dimensione 1! Prendi la retta per i 2 centri di omotetia, e scopri cosa succede lungo quella retta, scegliendo degli opportuni assi cartesiani. Nella/e direzione/i ortogonale/i hai semplicemente un'omotetia di ragione k*h, in ogni caso.