Omotetie..
Omotetie..
La somma di due omotetie è sempre un'omotetia? come si dimostra?
"Somma" non mi sembra il termine più appropriato. Se parli di composizione, la risposta è affermativa e ti basta fare i calcoli per verificarlo (così vedi anche di che omotetia si tratta...)
"Fu chiaro sin dall'inizio che ogni qual volta c'era un lavoro da fare, il gatto si rendeva irreperibile." (George Orwell - La fattoria degli animali)
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Tibor Gallai
- Messaggi: 1776
- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Calma, non sempre è un'omotetia.
Le similitudini sono chiuse per composizione, le omotetie no.
Vale la pena di capire, come esercizio, quando la composizione di 2 omotetetie è un'omotetia (ed in tal caso esplicitarne il centro), e quando non lo è (ed in tal caso scoprire cos'è).
Le similitudini sono chiuse per composizione, le omotetie no.
Vale la pena di capire, come esercizio, quando la composizione di 2 omotetetie è un'omotetia (ed in tal caso esplicitarne il centro), e quando non lo è (ed in tal caso scoprire cos'è).
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Ci ho pensato su, però non mi convince, quindi chiedo aiuto 
...scrivo quello che mi è venuto in mente, così se è sbagliato vi fate due risate..
allora: prendo un punto di coordinate (x;y) e voglio fare l'omotetia di centro (x_a;y_a) e di valore k prima, poi comporla con quella di centro (x_b;y_b) di valore h.
L'omotetia di centro (0;0) e di valore j manda un punto p(x;y) in uno p'(jx;jy)
quindi trasolo in modo da far coincidere il centro della prima omotetia con l'origine:
$ p(x;y)\to p'(x-x_a;y-y_a) $ e ora faccio l'omotetia: $ p'\to p''(kx-kx_a;ky-ky_a) $, quindi traslo di nuovo per far tornare il centro dell'omotetia dov'era prima:$ p''\to p'''(kx-kx_a+x_a;ky-ky_a+y_a) $
Ora rifaccio lo stesso lavoro con la seconda:
traslo:$ p'''\to p''''(kx-kx_a+x_a-x_b;ky-ky_a+y_a-y_b) $
omotetia:$ p''''\to p^V(hkx-hkx_a+hx_a-hx_b;hky-hky_a+hy_a-hy_b) $
traslo: $ p^V\to p^{VI}(hkx-hkx_a+hx_a-hx_b+x_b;hky-hky_a+hy_a-hy_b+y_b) $..questa cosa è un omotetia solo se h=k, o uno tra k e h è 1..penso...
...scrivo quello che mi è venuto in mente, così se è sbagliato vi fate due risate..allora: prendo un punto di coordinate (x;y) e voglio fare l'omotetia di centro (x_a;y_a) e di valore k prima, poi comporla con quella di centro (x_b;y_b) di valore h.
L'omotetia di centro (0;0) e di valore j manda un punto p(x;y) in uno p'(jx;jy)
quindi trasolo in modo da far coincidere il centro della prima omotetia con l'origine:
$ p(x;y)\to p'(x-x_a;y-y_a) $ e ora faccio l'omotetia: $ p'\to p''(kx-kx_a;ky-ky_a) $, quindi traslo di nuovo per far tornare il centro dell'omotetia dov'era prima:$ p''\to p'''(kx-kx_a+x_a;ky-ky_a+y_a) $
Ora rifaccio lo stesso lavoro con la seconda:
traslo:$ p'''\to p''''(kx-kx_a+x_a-x_b;ky-ky_a+y_a-y_b) $
omotetia:$ p''''\to p^V(hkx-hkx_a+hx_a-hx_b;hky-hky_a+hy_a-hy_b) $
traslo: $ p^V\to p^{VI}(hkx-hkx_a+hx_a-hx_b+x_b;hky-hky_a+hy_a-hy_b+y_b) $..questa cosa è un omotetia solo se h=k, o uno tra k e h è 1..penso...
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Tibor Gallai
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Non ho letto i contazzi, ma le conclusioni a cui arrivi non corrispondono con le mie (e temo che le mie siano esatte).
Per semplificarti la vita, osserva che ragionare in dimensione n (per n=2) non è necessario: ragiona in dimensione 1! Prendi la retta per i 2 centri di omotetia, e scopri cosa succede lungo quella retta, scegliendo degli opportuni assi cartesiani. Nella/e direzione/i ortogonale/i hai semplicemente un'omotetia di ragione k*h, in ogni caso.
Per semplificarti la vita, osserva che ragionare in dimensione n (per n=2) non è necessario: ragiona in dimensione 1! Prendi la retta per i 2 centri di omotetia, e scopri cosa succede lungo quella retta, scegliendo degli opportuni assi cartesiani. Nella/e direzione/i ortogonale/i hai semplicemente un'omotetia di ragione k*h, in ogni caso.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]