Scoporre un polinomio

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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matte992
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Scoporre un polinomio

Messaggio da matte992 » 23 gen 2010, 15:01

Salve a tutti. Penso sia più che noto a tutti che quando un polinomio ha degli zeri è scomponibile. Ma quando questo polinomio è maggiore di 0 per qualunque x appartenente ai reali, come bisogna procedere??

esempio: x^4 + x^2 + 1 apparentemente non è scomponibile
in realtà può essere scritto come (x^2+x+1) (x^2-x+1)

provare per credere..

Perciò la domanda è: esiste un criterio per scomporre anche i polinomi che non hanno zeri???

Grazie per l'aiuto

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 23 gen 2010, 16:25

Cominciamo col chiarire una cosa: non esistono polinomi privi di zeri. Un polinomio può essere privo di zeri reali. Anzi, il teorema fondamentale dell'algebra assicura che un polinomio di grado n ha sempre n radici nel campo complesso. Alcune di esse, o tutte, potrebbero essere reali. Il polinomio di cui stai parlando tu non ha alcuna radice reale. Questo non significa che non sia scomponibile. In effetti, un polinomio che ha radici reali è scomponibile ma non è vero che un polinomio che ne sia privo non sia mai scomponibile.
Le tecniche che tu richiedi usano i numeri complessi, e comunque sono abbastanza semplici.
L'anno scorso uno dei quesiti di febbraio ha tratto in inganno molti studenti: chiedeva in quanti fattori si potesse scomporre un dato polinomio (mi pare di grado 6), e veniva fuori un fattore in più di quanto sembrasse a una prima analisi (comunque lo si poteva risolvere anche senza i numeri complessi).

P.S. Centesimo mio intervento su questo forum!!!!
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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matte992
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Messaggio da matte992 » 23 gen 2010, 17:13

ma allora se dovesse servirmi questo polinomio scomposto, dovrei morire facendo 1000 tentativi?? è scomodo...

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 23 gen 2010, 18:03

Non ti conviene fare esercizi per tentativi, a meno che tu non sia un computer. Esistono vari metodi per affrontare il problema (e conoscere i numeri complessi certamente aiuta). Nel caso del tuo polinomio si vede subito che $ x^4+x^2+1 $ può essere riscritto come $ (x^4+2x^2+1)-x^2 $, dove il termine fra parentesi è un quadrato perfetto. Quindi hai $ (x^2+1)^2-x^2 $ che è un prodotto notevole del tipo $ a^2-b^2 $; e il gioco è fatto. Questo trucco è sicuramente uno dei più efficaci.
Se vuoi puoi proporre qualche altro caso e vedrai che troverai orde fameliche di risolutori pronti a descriverti altri possibili metodi.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Messaggio da SkZ » 23 gen 2010, 19:11

e si puo' dimostrare che un polinomio a termini reali si puo' sempre scomporre in polinomi di grado secondo o primo (quest'ultimo c'e' di certo se il grado e' dispari).
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 31 gen 2010, 11:15

E cosa ne dite invece di quelli a coefficienti interi? E' ovvio che se un polinomio a coefficienti reali ha grado n, i suoi fattori nella scomposizione sono in numero maggiore o uguale a n/2 (se una radice è complessa, allora anche la sua coniugata è radice). Per quelli a coefficienti interi la questione è più "complessa" ( :P ). O sbaglio?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

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