Uso dell'aritmetica modulare

[ndp15]

Ma questo vale solo per il 2....quindi devo dedurre che non esiste un metodo preciso...Grazie per la velocità con cui hai risposto comunque ^^

Un po' di calcoli a mano solitamente bastano e avanzano.
Se cerchi strumenti un po' più avanzati per valutare le congruenze ci sono il piccolo teorema di Fermat e la generalizzazione che ne ha dato Eulero (Carmichael non lo scomodiamo ).

[Claudio.]

Ma per risolvere qual problema in questo modo, se non sapevi già queste ricorrenze(scusate il termine), a trovare quelle del 2 del 3 e del 11 avresti impegato molto più tempo che con il ragionamento dato dalla soluzione ufficiale.

[SkZ]

direttamente dal piccolo teorema di Fermat
$ $5\not|a\;\Rightarrow \; a^4\equiv 1\mod 5 $

considerato $ ~n^a $ abbiamo
$ $n=2m\;\Rightarrow \; n^a\equiv 2^am^a $
quindi riconduciamo tutto ad una potenza di 2 per una potenza di un dispari.
Se tale dispari termina per 5 allora tutte le sue potenze terminano per 5, altrimenti non e' divisibile per 5 e vedi sopra


ovvero non vale solo per il 2 il discorso dell'esponente modulo 4

[Claudio.]

Credo proprio che dovrei interessarmi a questo piccolo teorema di Fermat, lo sento pronunciare troppo spesso e sono costretto a non metter parola poichè non so neanche l'enunciato.

Comunque non ho capito perchè m è sicuramente dispari

P.S. Grazie di avermi appena insegnato come si tagliano gli oggetti(se posso usare questo termine) in LaTeX .

[SkZ]

non ho detto che m e' dispari.
Ma se m e' pari allora reitero, finche' non ho una potenza di pari moltiplicata per la potenza di un dispari (1 e' dispari e $ $2^0=1 $ e' una potenza di 2)

[Willy67]

come si fa a dimostrare che $ 2^{65}+3^{66}+5{66} \cong 2\cdot 9 11?? $$ $

[Claudio.]

Hai sbagliato a mettere il LaTeX forse non hai chiuso il tag....Comunque congruo si scrive "$ \equiv $"
(se passi con il cursore sopra il LaTeX vedi il codice.)

Comunque la moltiplicazione, l'addizione e la sottrazione valgono anche per i resti. Cioè il resto di un numero moltiplicato per un altro è la moltiplicazione dei due resti.
Quindi in questo caso il resto corrisponde proprio al resto delle potenze, e se leggi qualche post prima abbiamo appena spiegato come calcolarlo ti faccio l'esempio più semplice calcolare $ 11^n \pmod {10} $
$ 11 \equiv 1 \pmod {10} $
$ 11^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod {10} $
Poichè la potenza di 1 è sempre 1.
Poi siccome tutti i multipli di 10 finiscono per 0, un numero in modulo 10 equivale alla sua ultima cifra.
$ \frac {1376}{10}= 10 \cdot 137 $ con resto $ 6 \Rightarrow 1376 \equiv 6 \pmod {10} $

[Claudio.]

48 è pari, perché è il doppio di 24.
Ma questo vale solo per il 48, quindi devo dedurre che non esiste un metodo preciso per stabilire se un numero è pari.

Comunque io avevo detto in quel modo perchè poichè non mi aveva dato una regola generale pensavo che non ci fosse se no l'avrebbe scritta...