Inversa di una funzione

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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SARLANGA
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Inversa di una funzione

Messaggio da SARLANGA »

Dimostrare che l'inversa di una funzione biiettiva è anch'essa biiettiva.
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

dato che una funzione biiettiva e' una funzione iniettiva e suriettiva:
funzione: ad ogni punto di X associa un solo punto di Y
iniettiva: punti distinti di X vanno in punti distinti di Y
suriettiva: per ogni punto di Y esiste un punto di X che sia in relazione con esso

la funzione inversa g di una funzione $ ~f: X\to Y $ e' quella che ad ogni punto y di Y associa un punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f

Ergo per le definizioni, l'inversa di una funzione biiettiva e' biiettiva (la suriettivita' di f garantisce la iniettivita' di g, l'iniettivita' di f garantisce che g sia una funzione)
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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA »

SkZ ha scritto:la suriettivita' di f garantisce la iniettivita' di g
1) f suriettiva mi implica che ad ogni y è associato almeno un x;
mentre:
2) g iniettiva mi implica che 2 y diversi non sono mai associati allo stesso x.
Come fa la 1) a giustificare la 2)??? Magari l'hai già spiegato ma non ho capito...
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

non dimenticare che se f e' una funzione ergo tutte le x hanno una loro immagine.
Il problema qui e' se parliamo di relazione inversa che e' una funzione biiettiva o di funzione inversa che e' biiettiva.
Nel secondo caso la g per definizione associa ad ogni y un solo x e questo impone la suriettivita' e l'iniettivita' di f (diciamo che la suriettivita' l'avevo introdotta per nulla).

Se parliamo di relazione inversa, innanzi tutto ci serve che g sia una funzione ergo definita su tutto Y. Questo e' fornito dalla suriettivita' di f.
Ora e' necessario che sia associato ad un y un solo x e questo e' fornito dall'iniettivita' di f.

Ora f e' pure la funzione inversa di g, ergo g e' iniettiva e suriettiva.
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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama »

Visto che è proprio facile, cerchiamo almeno di essere formali e non buttare lì parole senza giustificazione precisa, eh! Una funzione $ f: A \to B $ si dice iniettiva se per ogni $ x_1,x_2 \in A $ si ha che $ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 $. Significa in altre parole che un elemento di $ B $ può essere immagine al più di un elemento di $ A $ (provate a formalizzare anche questa affermazione).

Si dice suriettiva (o surgettiva) se per ogni $ y \in B $ esiste $ x \in A $ tale che $ y=f(x) $. Significa che tutti gli elementi di $ B $ sono immagini di un qualche elemento di $ A $. Attenzione sempre ai quantificatori!

Si dice biunivoca (o bigettiva) se è sia iniettiva che surgettiva.

Se la mia $ f $ è bigettiva, allora è ben definita la sua inversa $ f^{-1} : B \to A $. Vediamo perché. Cosa vogliamo che faccia questa funzione inversa? Fissato un elemento $ y \in B $, per surgettività di $ f $ abbiamo che esiste $ x \in A $ tale che $ y=f(x) $. A me piacerebbe che l'inversa mandasse $ y $ in questo $ x $, ma a priori potrebbe andarmi male, perché se un tale $ x $ non fosse unico, non potrei definire una funzione. Ma siamo tranquilli che tutto funziona, perché l'iniettività di $ f $ assicura l'unicità di tale $ x $ (provate a verificarlo!). Dunque la mia $ f^{-1} $ è effettivamente definita.

È intuitivo che debba essere bigettiva essa stessa. Ma vogliamo dimostrarlo formalmente. Dunque dobbiamo verificare per bene iniettività e surgettività, tenendo presenti le definizioni.

1) Iniettività: fisso $ y_1, y_2 \in B $. Suppongo che $ f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2) $. Questo cosa significa? Significa che (ricordiamo come è stata definita la funzione inversa!), scrivendo $ y_1=f(x_1) $ e $ y_2=f(x_2) $, ho che $ x_1 = x_2 $. Ma allora, poiché $ f $ è una funzione, posso senz'altro affermare che $ f(x_1)=f(x_2) $, cioè $ y_1=y_2 $, come si voleva.

2) Surgettività: fisso $ x \in A $ e ragiono così. Posso senz'altro applicare la $ f $, e ovviamente $ f(x) \in B $ (attenzione: $ f(x) $ è davvero un elemento dell'insieme $ B $ ed è l'immagine di $ x $; spesso si è indotti a confusione per colpa di affermazioni fuorvianti tipo "la funzione $ f(x) $). Ma, sempre per definizione di funzione inversa, ho direttamente che $ f^{-1}(f(x)) = x $. E dunque, per definizione di funzione suriettiva (riguardare e convincersi!) ho concluso.
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

Ani-sama ha scritto:Visto che è proprio facile, cerchiamo almeno di essere formali e non buttare lì parole senza giustificazione precisa, eh!
Formalissimo e non buttato parole a caso. Il fatto che non uso relazioni di equivalenza non vuol dire che non sia giusto ;)
SkZ ha scritto:dato che una funzione biiettiva e' una funzione iniettiva e suriettiva:
funzione: ad ogni punto di X associa un solo punto di Y
iniettiva: punti distinti di X vanno in punti distinti di Y
suriettiva: per ogni punto di Y esiste un punto di X che sia in relazione con esso

la funzione inversa g di una funzione $ ~f: X\to Y $ e' quella che ad ogni punto y di Y associa un punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f
posso riscriverla piu' chiara.
Una relazione $ ~f:X\to Y $ si dice funzione se associa ad ogni punto di X un solo punto di Y

Dimostriamo che:
se la relazione inversa di una funzione $ ~f:X\to Y $ e' una funzione, allora f e' iniettiva e suriettiva ergo biiettiva.
Se la relazione inversa g di f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X, ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y, ergo f e' iniettiva.

Ora dimostriamo che:
la relazione inversa di una funzione biiettiva $ ~f:X\to Y $ e' una funzione.
Una funzione:
1) e' definita su tutti i punti: questo e' garantito dalla suriettivita' di f
2) associa un solo punto ad un elemento: questo e' garantito dalla iniettivita' di f.

Finito, poiche' f (funzione biiettiva) e' pure la relazione inversa di una funzione g e f e' una funzione.

Ho solo sistemato quanto gia' detto.
Ultima modifica di SkZ il 06 ott 2009, 02:52, modificato 1 volta in totale.
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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama »

Attento che per indicare una funzione non va bene il "\mapsto" in TeX. Si scrive $ f: A \to B $, $ x \mapsto f(x) $, cioè quella freccia si usa per dire dove va a finire l'elemento $ x $
Ultima modifica di Ani-sama il 06 ott 2009, 03:17, modificato 2 volte in totale.
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

gia' \to e basta. a essere sinceri non ho manco guardato molto che veniva fuor, infatti all'inizio veniva fuori niente perche' il primo comando usato era inesistente (\map) :P
correggiamo!
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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama »

SkZ ha scritto:posso riscriverla piu' chiara.[...]
In ogni caso, non mi riesce convincente nemmeno questa tua riscrittura. Intanto, non ho capito cosa tu intenda con "relazione inversa", anche se mi sono fatto un'idea. Faresti meglio a specificarlo. E comunque:
SkZ ha scritto:Se la relazione inversa g di f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X, ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y, ergo f e' iniettiva.
Qui hai semplicemente scritto le definizioni e poi le tesi, collegandole con "questo significa che". A me, parlo personalmente, non sembra una "dimostrazione" fatta con i dovuti crismi. In altre parole: è vero che queste affermazioni di cui ci stiamo occupando sono "ovvie", però nella loro "ovvietà" vanno dimostrate. E per dimostrare qualcosa non c'è altro modo che scrivere tutti i passaggi per bene, cosa che non mi sembra di riscontrare in ciò che hai scritto. O forse come fai tu è giusto, però non riesco a convincermene, ecco. :(
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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA »

Ani-sama ha scritto:1) Iniettività: fisso $ y_1, y_2 \in B $. Suppongo che $ f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2) $. Questo cosa significa? Significa che (ricordiamo come è stata definita la funzione inversa!), scrivendo $ y_1=c $ e $ y_2=f(x_2) $, ho che $ x_1 = x_2 $. Ma allora, poiché $ f $ è una funzione, posso senz'altro affermare che $ f(x_1)=f(x_2) $, cioè $ y_1=y_2 $, come si voleva.
Sei stato in tutto chiarissimo e formalissimo! Solo non ho capito questo passaggio. Per caso hai fatto questo ragionamento?:
Considerando quanto detto in precedenza sull'iniettività di $ \displaystyle f(x) $, si riscrive $ \displaystyle f^{-1}(y_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}(y_2) $ come $ \displaystyle f^{-1}f(x_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}f(x_2) $ da cui $ \displaystyle y_1=y_2 $.
Anche se non è formale e preciso, è questo quello che intendevi?
Grazie
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 »

a dire il vero io non capisco il senso di tutto ciò....la funzione inversa $ f^{-1} $di una funzione $ f $ è bigettiva nel dominio della funzione per definizione, a prescindere dalla suriettività di $ f $. Invece l'iniettività è "condizione di esistenza" della funzione inversa
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
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hydro
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Messaggio da hydro »

Maioc92 ha scritto:Invece l'iniettività è "condizione di esistenza" della funzione inversa
condizione necessaria, ma non sufficiente
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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama »

SARLANGA ha scritto:[...]Considerando quanto detto in precedenza sull'iniettività di $ \displaystyle f(x) $, si riscrive $ \displaystyle f^{-1}(y_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}(y_2) $ come $ \displaystyle f^{-1}f(x_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}f(x_2) $ da cui $ \displaystyle y_1=y_2 $.
Anche se non è formale e preciso, è questo quello che intendevi?
Grazie
No, non direi. Cioè, quando dici:
SARLANGA ha scritto:si riscrive $ \displaystyle f^{-1}(y_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}(y_2) $ come $ \displaystyle f^{-1}f(x_1) $ e $ \displaystyle f^{-1}f(x_2) $
dici una cosa vera, ma da lì (poiché è vera per ipotesi l'uguaglianza) concludi che $ x_1=x_2 $. Per "ricatturare" $ y_1 $ e $ y_2 $, che è ciò che importa, devi applicare di nuovo la $ f $.

PS: osservazione di carattere notazionistico. Dire "la funzione $ f(x) $ può essere fuorviante, perché a rigore $ f(x) $ è l'immagine di $ x \in A $ quindi è un elemento di $ B $. Meglio scrivere semplicemente "la funzione $ f $".

***
Maioc92 ha scritto:a dire il vero io non capisco il senso di tutto ciò....la funzione inversa $ f^{-1} $di una funzione $ vf $ è bigettiva nel dominio della funzione per definizione, a prescindere dalla suriettività di $ f $. Invece l'iniettività è "condizione di esistenza" della funzione inversa
No, ti sbagli. La funzione inversa di una data funzione $ f $ esiste se e solo se la funzione di partenza è bigettiva.
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

Asisama, se una funzione e' un caso particolare di relazione, ergo la relazione inversa e' il caso piu' generale di funzione inversa.
La relazione inversa di una relazione $ ~r: X\to Y $ e' la relazione che associa ad un punto di Y i punti di X che sono in relazione con esso tramite r.
Cmq senza questa definizione non puoi nemmeno definire la funzione inversa, inquanto mi hai chiesto di definire l'inversione di una relazione. ;)

Ammetto che avevo dimenticato di scrivere che f e' una funzione.
Se la relazione inversa g di una funzione f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X (g e' definita su tutto Y in quanto funzione), ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y (a un y e' associato un solo x, ergo non esistono due punti di X che sono associati allo stesso y), ergo f e' iniettiva.

Avevo sottointeso solo cose ovvie, proprie della definizione. Infatti anche tu hai omesso di definire cosa e' una relazione.
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Messaggio da Maioc92 »

Ani-sama ha scritto: No, ti sbagli. La funzione inversa di una data funzione $ f $ esiste se e solo se la funzione di partenza è bigettiva.
si giusto...chiedo venia, mi ero proprio confuso :oops:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
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