Glossario di termini per la geometria
Inviato: 24 giu 2009, 03:29
OK, siccome spesso insorgono dei problemi con le definizioni e con l'uso di alcuni termini faccio qui un piccolo glossario che amplierò col tempo.
Cliccando sul nome apparirà la relativa immagine.
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- concorrenza[/url]: tre rette si dicono concorrenti se passano per uno stesso punto.
- ceviana[/url]: sia P un punto e chiamiamo D,E,F l'intersezione di AP,BP,CP con BC,CA,AB; allora AD, BE e CF sono ceviane.
- coniugato armonico di P rispetto a AB[/url]: il punto Z è detto coniugato armonico di Y rispetto a WX se W,Y,X,Z sono allineati e vale WY/YX = WZ/XZ. Per costruire il coniugato armonico basta prendere un punto S esterno a AB e un punto T su SP; chiamiamo ora E e F l'intersezione di BT con SA e di AT con SB. Allora Q è l'intersezione di EF con AB (questo è vero per il teorema di Ceva più quello di Menelao).
- coniugato isogonale di P[/url]: il punto un cui concorrono il simmetrico di PA rispetto alla bisettrice da A, il simmetrico di PB rispetto alla bisettrice da B e il simmetrico di PC rispetto alla bisettrice da C. (questre 3 rette concorrono per Ceva trigonometrico).
- coniugato isotomico di P[/url]: chiamiamo A',B',C' l'intersezione di AP,BP,CP con BC,CA,AB e A'',B'',C'' i simmetrici di A',B',C' rispetto al punto medio di BC,CA,AB. Allora AA'',BB'',CC'' concorrono nel coniugato isotomico di P (le tre rette concorrono per Ceva)
- coniugato cicloceviano di P[/url]: AP,BP,Cp incontra BC,CA,AB in A',B',C'; la circonferenza circoscritta a A'B'C' incontra BC in 2 punti: A' e A''. Definiamo B'' e C'' ciclicamente. Allora AA'', BB'' e CC'' concorrono nel coniugato cicloceviano di P.
- Punto complementare di P[/url]: chiamiamo G il baricentro di ABC, allora un'omotetia di centro G e fattore -1/2 manda P nel suo punto complementare.
- Punto anticomplementare di P[/url]: chiamiamo G il baricentro di ABC, allora un'omotetia di centro G e fattore -2 manda P nel suo punto anticomplementare.
- X(1): incentro[/url]: il punto di concorrenza delle bisettrici interne di ABC è chiamato incentro o X(1).
Esse è il complementare di X(8$ ) $.
- X(2): baricentro[/url]: il punto di concorrenza dele mediane (rette che uniscono il vertice al punto medio del lto opposto) del triangolo concorrono nel baricentro o X(2). Esse è il coniugato isogonale di X(6).
- X(3): circocentro[/url]: il circocentro o X(3) è il centro della circonferenza circoscritta ed è il punto di incontro degli assi dei lati di ABC. Esso è il coniugato isogonale dell'ortocentro.
- X(4): ortocentro[/url]: l'ortocentro o X(4) è il punto di concorrenza delle altezze (perpendicolari condotte da un vertice al lato opposto) di ABC. Esso è il coniugato isogonale del circocertro.
- X(5): centro della circonferenza di Feuerbach[/url]: Centro della circonferenza che passa per i punti medi dei lati, per i piedi delle altezze e per i punti medi dei segmenti che uniscono ortocentro ai vertici, inoltre tale circonferenza è tangente all'incerchio e ai tre ex-cerchi. X(5) è il punto medio tra X(3) e X(4) ed è il complementare di X(3).
- X(6): Punto di Lemoine[/url]: E' il coniugato isogonale del baricentro. Esso è allineato con il punto medio di un'altezza e del lato corrispondente.
- X(7): punto di Gergonne[/url]: Chiamiamo $ T_A $, $ T_B $, $ T_C $ il punto di tangenza dell'incerchio con BC, CA, AB; Allora $ AT_A $, $ BT_B $, $ CT_C $ concorrono nel punto di Gergonne X(7). Il punto di Gergonne è coniugato isotomico del punto di Nagel. Esso è l'anticomplementare di X(9).
- X(8 ): punto di Nagel[/url]: chiamiamo A',B',C' il punto di tangenza dell'A-excerchio con BC, del B-excerchio con CA, del C-excerchio con AB; allora AA', BB', CC' concorrono nel punto di Nagel. Il punto di Nagel è coniugato isotomico del punto di Gergonne. Esso è l'anticomplementare dell'incentro.
- X(9): Mittenpunkt[/url]: X(9) è il punto di Lemoine del triangolo excentrico. E' ottenibile intersecando le rette che uniscono l'excentro al punto medlio del relativo lato a cui è tangente. Esso è il complementare di X(7)
- X(10): centro di Spieker[/url]: è l'incentro del triangolo mediale di ABC. Esso è il complementare dell'incentro.
- X(11): punto di Feuerbach[/url]: é il punto di tangenza tra incerchio e crf di Feuerbach. Se chiamiamo X,Y,Z i punti medi dei lati ABC come in questa figura allora abbiamo FX=FY+FZ.
- X(13): punto di Torricelli o secondo punto di Fermat o primo punto isogonico[/url]: Si ottiene intersecando le rette che congiungono un vertice al vertice del triangolo equilatero eretto esternamene al lato opposto. Esso risolve il problema di Stainer, quindi è il punto che minimizza la somma AP+BP+CP. Esso è coniugato isogonale di X(15). Insieme a X(14) è l'unico punto il cui triangolo antipedale è equilatero.
- X(14): secondo di Fermat o secondo punto isogonico[/url]: Si ottiene intersecando le rette che congiungono un vertice al vertice del triangolo equilatero eretto internamente al lato opposto. Insieme a X(13) è l'unico punto il cui triangolo antipedale è equilatero. Coniugato isogonale di X(16).
- X(15): primo punto isodinamico[/url]: la bisettrice interna di A interseca BC in X e quella esterna in Y. Chiamiamo allora $ \Gamma_a $. Ugualmente definiamo $ \Gamma_b $ e $ \Gamma_c $. Allora $ \Gamma_a $, $ \Gamma_b $ e $ \Gamma_c $ concorrono is S e S'. Il primo punto isodinamico è il punto di intersezione interno alla crf circoscritta a ABC. Esso è coniugato isogonale di X(13). Esso è l'unico punto insieme a X(16) ad avere come triangolo pedale un triangolo equilatero. E' l'inverso di x(16) rispetto alla crf circoscritta.
- X(16): secondo punto isodinamico[/url]: la bisettrice interna di A interseca BC in X e quella esterna in Y. Chiamiamo allora $ \Gamma_a $. Ugualmente definiamo $ \Gamma_b $ e $ \Gamma_c $. Allora $ \Gamma_a $, $ \Gamma_b $ e $ \Gamma_c $ concorrono is S e S'. Il primo punto isodinamico è il punto di intersezione esterno alla crf circoscritta a ABC. Esso è coniugato isogonale di X(14). Esso è l'unico punto insieme a X(15) ad avere come triangolo pedale un triangolo equilatero. E' l'inverso di x(15) rispetto alla crf circoscritta.
- X(17): primo punto di Napoleone[/url]: Si ottiene intersecando le rette che congiungono un vertice al centro del triangolo equilatero eretto esternamente al lato opposto.
- X(18 ): secondo punto di Napoleone[/url]: Si ottiene intersecando le rette che congiungono un vertice al centro del triangolo equilatero eretto internamente al lato opposto.
- X(19): punto di Clawson[/url]: è il centro di omotetia tra il triangolo extangente e quello ortico.
- X(20): punto di de Longchamps[/url]: è il simmetrico dell'ortocentro nel circocentro. Esso è l'ortocentro del triangolo antimediale e l'intersezione della retta di Soddy con laretta di Eulero.
- X(22): punto di Schiffler[/url]: chiamiamo A'' e cicliche l'A-excentro. Chiamiamo A' l'intersezione tra la mediana da A e la crf circoscritta a ABC e cicliche. Allora A'A'', B'B'', C'C'' concorrono in X(22). E' il centro prospettico tra il triangolo circomediale e quello tangenziale.
- X(23): punto Far-Out[/url]: è l'inverso del baricentro rispetto alla crf circoscritta.
X(30): punto di Eulero all'infinito: punto di intersezione tra la retta di Eulero e la retta all'infinito.
- X(40): punto di Bevan[/url]: circocentro del triangolo excentrico. E' anche il punto di concorrenza tra le perpendicolari condtte dall'excentro al relativo lato tangente. E' l'incentro del triangolo extangente e il centro prospettico tra il triangolo extangente e il triangolo excentrico. E' il simmetrico dell'incentro nell'ortocentro. Esso ha la stessa distanza dell'incentro dalla retta di Eulero.
- X(370): punto del triangolo ceviano equilatero[/url]: l'unico punto il cui triangolo ceviano è equilatero.
- X(371): punto di Kenmotu[/url]: Esistono tre quadrati congruenti U,V,W tali che: U è appoggiato ai segmenti AB, AC; V è appoggiato a BC e BA; W è appoggiato a CA e CB. questri tre quadrati hanno un unico punto in comune che è X(371). Per un problema su questo punto vedi il problema 5 degli ITAMO 2008 qui.
- Retta di Eulero[/url]: la retta che passa per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro e li divide nel rapporto GH=2GO. Questa retta Passa anche per il centro della crf di Feuerbach, per il punto de Longchamps, quello di Schiffler e quello di Exeter.
- Retta all'infinito[/url]: è la retta che in coordinate trilineari soddisfa $ a \alpha + b \beta + c \gamma = 0 $. Essa preso un puntp P sulla circonferenza circoscritta il luogo dei coniugati isogonali di P rispetto a ABC al variare di P è la retta all'infinito. La retta all'infinito è perpendicolare a tutte le rette.
- Retta di Nagel[/url]: è la retta che passa per l'incentro, il baricentro, il punto di Nagel e il punto di Spieker.
- Retta di Gergonne[/url]: è la perspettrice tra ABC e il suo triangolo di contatto. Essa è perpendicolare alla retta di Soddy.
- Retta di Soddy[/url]: è la retta che passa per l'incentro, il punto di Gergonne, il punto di de Longchamps, il centro esterno di Soddy e il centro interno di Soddy. La retta di Soddy è perpendicolare alla retta di Gergonne come mostra questa figura.
- Retta di Brocard[/url]: retta che comprende il circocentro, il punto di Lemoine, il primo punto isodinamico, il secondo punto isodinamico, il punto di Kenmotu etc.
- Triangolo ceviano di P[/url]: chiamiamo A',B',C' l'intersezione di AP,BP,CP con BC,CA,AB allora A'B'C' è detto triangolo ceviano di P rispetto a ABC.
- Triangolo anticeviano di P[/url]: sia A' un punto su PA, B' un punto su PB e C' un punto su PC tali che B',C',A sono allineati, C',A',B sono allineati e A',B',C sono allineati. Allora A'B'C' è detto triangolo anticeviano di P rispetto a ABC. Chiamiamo D l'intersezione di AP con BC, allora è semplice dimostrare che A' è il coniugato armonico di P rispetto a AD e cicliche.
- Triangolo mediale[/url]: è il triangolo che unisce i punti medi di ABC.
- Triangolo antimediale[/url]: il triangolo A'B'C' che ha per punti medi dei lati ABC. Chiaramente si avrà che B',C',A sono allineati e che B'C'//BC e cicliche.
- Triangolo ortico[/url]: il triangolo che unisce di piedi delle altezze di ABC. HA come proprietà interessante che il sui incentro è l'ortocentro di ABC.
- Triangolo excentrico[/url]: triangolo che unisce gli excentri di ABC. Ha come proprietà interessante che il suo ortocentro è l'incentro di ABC.
- Triangolo di contatto[/url]: il triangolo che unisce i punti di contatto della circonferenza inscritta a ABC con i lati di ABC, esso è prospettico ad ABC con centro nel punto di Gergonne di ABC.
- Triangolo tangenziale[/url]: il triangolo con lati le tangenti ad da A,B,C alla circonferenza circoscritta di ABC, esso è prospettico ad ABC con centro nel punto di Lemoine di ABC.
- Triangolo pedale di P[/url]: chiamiamo A',B',C' la proiezione di P su BC,CA,AB; allora A'B'C' è detto triangolo pedale di P rispetto a ABC.
- Triangolo antipedale di P[/url]: la retta da B perpendicolare a PB interseca la retta da C perpendicolare a PC in A' e cicliche. Allora A'B'C' è il triangolo antipedale di P rispetto a ABC.
- Triangolo extangente[/url]: é il triangolo che ha per lati le tangenti esterno tra due ex-cerchi. L'incentro del triangolo extangente è il circocentro del triangolo excentrico.
- Triangolo circomediale[/url]: il triangolo che unisce i punti di intersezione delle mediano con la crf circoscritta a ABC.
- Triangolo circoceviano di P[/url]: chiamiamo A',B',C' l'intersezione di AP,BP,CP con la circonferenza circoscritta a ABC; allora A'B'C' è il triangolo circumceviano di P rispetto a ABC.
- Triangoli prospettici[/url]: due triangoli ABC e A'B'C' sono prospettici see AA',BB' ,CC' concorrono in un punto detto centro prospettico.
- prospettrice[/url]: sse due triangoli sono prospettici allora chiamiamo D,E,F l'incontro di BC con B'C', di CA con C'A' e di AB con A'B', allora D,E,F sono allineati sulla prospettrice dei due triangoli (Teorema di Desargues).
- triangoli ortologici[/url]: due triangoli ABC e A'B'C' sono ortologoci sse le perpendicolari da A, B, C a B'C', C'A', A'B' concorrono in un punto che chiamiamo P e le perpendicolari da A', B', C' a BC, CA, AB concorrono in un punto che chiamiamo P'; P e P' sono detti centri ortologici.
