Ecco, imitando l'esempio virtuoso di edriv faccio anch'io un po' di ulteriore chiarezza, per quanto le mie misere forze me lo permettano.
(ed anche perché vedo che c'è ancora molta confusione tra centro di similitudine e centro di omotetia!!)
In generale, una trasformazione di similitudine del piano può essere espressa in coordinate in questo modo (dimostrazione, please!):
$ \left\{
\begin{array}{l}
x' = ax-by+c\\
y' = bx+ay+d
\end{array}
\right. $
con $ ~a\neq 0 $ o $ ~b\neq 0 $.
In pratica, quello che viene fuori è questo: tu vuoi costruire una similitudine generica, e la fai come una composizione di una rotazione e un'omotetia attorno a centri generici (anche distinti), o equivalentemente una composizione di:
1) una traslazione,
2) una rotazione attorno all'origine,
3) una seconda traslazione,
4) un'omotetia rispetto all'origine,
5) una terza traslazione.
Facendo tutto in coordinate, vedi che questa equivale (con pochissimi passaggi algebrici) ad una trasformazione più semplice:
1) una rotazione attorno all'origine,
2) un'omotetia rispetto all'origine,
3) una traslazione,
che in coordinate prende la forma che ho scritto sopra. In pratica è dimostrato quello che congetturavo nel 1° post. E scusate se era ovvio.
Volendo determinare le cose esplicitamente, vediamo che la ragione dell'omotetia è $ ~\sqrt{a^2+b^2} $, mentre l'angolo di rotazione è $ ~\arctan\left(-\frac b a\right) $. Inoltre, la similitudine è una traslazione se e solo se $ ~a=1,\ b=0 $. Per finire, il centro di similitudine (quando la sim. non è una traslazione) è l'unico suo punto fisso, nonché centro di roto-omotetia, ed ha coordinate
$ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x = \frac{(1-a)c-bd}{(1-a)^2+b^2}\\
\\
\displaystyle y = \frac{(1-a)d+bc}{(1-a)^2+b^2}
\end{array}
\right. $
Notare che i denominatori si annullano se e solo se vale la condizione di traslazione.
Detto questo, due figure (nel senso di insiemi di punti) sono simili se esiste una trasformazione di similitudine del piano che manda l'una nell'altra. In generale, a seconda di come sono fatte le figure, di quante simmetrie hanno, etc, possono esistere più similitudini che mandano l'una nell'altra, e di conseguenza le due figure possono avere più di un centro di similitudine. Addirittura, due figure simili possono non avere un centro di similitudine (quando?).
- Per esempio, due insiemi vuoti (!!) hanno infiniti centri di similitudine, uno per ogni punto del piano.
- Due punti distinti hanno infiniti centri di similitudine, uno per ogni punto del piano, esclusi i due punti stessi (dimostrare!).
- Due circonferenze concentriche e distinte hanno un unico centro di similitudine (dimostrare!).
- Due circonferenze tangenti internamente e distinte hanno un unico centro di similitudine (dimostrare!).
- Due circonferenze non concentriche e non tangenti internamente hanno infiniti centri di similitudine, il cui luogo è a sua volta una circonferenza (dimostrare!).
- Due triangoli scaleni simili e non congruenti hanno un unico centro di similitudine (dimostrare!).
- Etc (dimostrare!).
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Mi sa che rimando a domani mattina a mente un pò più "fresca"! 
