Disuguaglianze... per principianti

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Haile
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Disuguaglianze... per principianti

Messaggio da Haile » 02 ago 2008, 15:23

Un esercizio... ed una richiesta d'aiuto :twisted:

Dimostrare che se $ $a, b, c$ $ sono numeri positivi, allora

$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$ $

Dovrebbe essere molto facile per gente non alle prime armi come me. Chiederei ad eventuali risolutori di non postare soluzioni del tipo "faccio questa sostituzione di variabili e poi esce per Nesbitt" :wink: . Quello che mi interesserebbe vedere è come si risolve in genere una disuguaglianza di questo tipo... in particolare ponendo condizioni del tipo

$ $a+b+c = 1$ $

o

$ $a \ge b \ge c$ $

(in questo caso mi sembra entrambe lecite e non si perde generalità, ma poi come concludere?)

grazie mille 8)

NB: preso da una dispensa di base di D. Santos. L'argomento del capitolo era l'AM - GM inequality...

nicelbole
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Messaggio da nicelbole » 02 ago 2008, 20:24

Un modo per dimostrare la disuguaglianza è proprio quello di usare AM-GM.
Infatti hai $ \displaystyle AM(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})= \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geq GM(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})=\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1 $.

Un altro modo semplice per risolverla è usare la disuguaglianza di riarrangiamento: supponi che sia, senza perdita di generalità, $ a\geq b \geq c $. Sarà allora $ \frac{1}{c}\geq \frac{1}{b}\geq \frac{1}{a} $. La disuguaglianza di riarrangiamento ti dice che si avrà $ \displaystyle a\cdot\frac{1}{b}+b\cdot\frac{1}{c}+c\cdot\frac{1}{a}\geq a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b}+c\cdot\frac{1}{c}=3 $.

Un terzo modo può essere quello di sfruttare il fatto che la disuguaglianza è omogenea (tutti gli addendi sono allo stesso grado). In questo caso infatti, se l'uguaglianza è vera per $ (a,b,c) $, essa sarà vera anche per $ (ka,kb,kc) $, con $ k $ reale.
A questo punto, se riesci a dimostrare che la disuguaglianza vale per tutte le terne $ (a,b,c) $ tali che $ a\cdot b\cdot c=1 $, sai che essa varrà per tutte le terne $ (ka,kb,kc) $, e dunque per tutte le terne reali.
Puoi quindi supporre $ a\cdot b\cdot c=1 $ e ottenere:$ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=a^2c+b^2a+c^2b $. Usando AM-GM, trovi che quest'ultima espressione è maggiore o uguale a tre (in effetti nel caso specifico questa soluzione non è la più efficace).

Spero, nonostante io non sia assolutamente un esperto in disuguaglianze, di averti passato qualche idea utile. :)

EDIT: Ho corretto l'errore segnalatomi da Goldrake.
Ultima modifica di nicelbole il 03 ago 2008, 01:20, modificato 2 volte in totale.

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 03 ago 2008, 00:10

nicelbole ha scritto:$ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{ab+ac+bc}{abc} $.
Aspetta,
$ \displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2b+ac^2+b^2c}{abc} $
:wink:

Ciao!

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Haile
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Messaggio da Haile » 03 ago 2008, 15:34

Grazie Nicelbole! (e goldrake xD) Sono esattamente le "idee" che cercavo 8)

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