Numeri primi
Numeri primi
Vorrei raccogliere tutti i possibili modi con cui si possono definire i numeri primi, ossia le condizioni che, se realizzate, implicano che un numero sia primo.
al momento me ne sono venute in mente 3:
($ p>1 $)
1) se $ (p;(p-1)!)=1 $, allora p è primo
2) se $ \varphi(p)=p-1 $ dove $ \varphi(x) $ è la funzione di eulero, allora p è primo
3) se $ p|(p-1)!+1 $ allora p è primo (teorema di wilson)
se ne sapete altri postateli, poi semmai li aggiungo al primo post....
al momento me ne sono venute in mente 3:
($ p>1 $)
1) se $ (p;(p-1)!)=1 $, allora p è primo
2) se $ \varphi(p)=p-1 $ dove $ \varphi(x) $ è la funzione di eulero, allora p è primo
3) se $ p|(p-1)!+1 $ allora p è primo (teorema di wilson)
se ne sapete altri postateli, poi semmai li aggiungo al primo post....
Ultima modifica di Stex19 il 05 lug 2008, 21:04, modificato 1 volta in totale.
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Re: Numeri primi
Lol ma dovrebbero anche essere necessarie, sennò non è una definizione equivalente. Anche essere uguali a 5 è una condizione che, se realizzata, implica che un numero sia primo....Stex19 ha scritto:Vorrei raccogliere tutti i possibili modi con cui si possono definire i numeri primi, ossia le condizioni che, se realizzate, implicano che un numero sia primo.
EDIT: mettiamo anche la "vera" definizione, ma mi pare se ne sia già parlato. Un numero p intero >1 è primo sse p|ab implica p|a V p|b
Re: Numeri primi
beh si.... è ovvio....pic88 ha scritto:Lol ma dovrebbero anche essere necessarie, sennò non è una definizione equivalente. Anche essere uguali a 5 è una condizione che, se realizzata, implica che un numero sia primo....Stex19 ha scritto:Vorrei raccogliere tutti i possibili modi con cui si possono definire i numeri primi, ossia le condizioni che, se realizzate, implicano che un numero sia primo.
EDIT: mettiamo anche la "vera" definizione, ma mi pare se ne sia già parlato. Un numero p intero >1 è primo sse p|ab implica p|a V p|b
non sono anche necessarie quelle che ho scritto?
comunque mi pare che quasi tutte le definizioni di numero primo abbiano $ $p>1$ $ tra le ipotesi, ergo metticelo pure tu all'inizio del tuo post
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capita a fagiolo questo topic !
allora....
da un post vecchiotto ho trovato questo link http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_primality_test
e devo dire che mi ha lasciato perplesso alquanto....
" Concept
Fermat's little theorem states that if p is prime and
$ \displaystyle 1 \le a < p $
then
$ \displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
se ancora so leggere a può essere uguale ad $ \displaystyle 1 $ visto che a deve essere maggiore/uguale ad uno e minore di p
se ancora so fare bene i conti.....
$ \displaystyle 1^n = 1 $
quindi presumo che
$ \displaystyle 1 \equiv 1 \pmod{p} $
quindi tutti i numeri sono primi !!!!!!!
sto dando di matto o wiki è impazzita ???
se sono uscito pazzo qualche anima pia mi spiega la situazione ???
allora....
da un post vecchiotto ho trovato questo link http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_primality_test
e devo dire che mi ha lasciato perplesso alquanto....
" Concept
Fermat's little theorem states that if p is prime and
$ \displaystyle 1 \le a < p $
then
$ \displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
se ancora so leggere a può essere uguale ad $ \displaystyle 1 $ visto che a deve essere maggiore/uguale ad uno e minore di p
se ancora so fare bene i conti.....
$ \displaystyle 1^n = 1 $
quindi presumo che
$ \displaystyle 1 \equiv 1 \pmod{p} $
quindi tutti i numeri sono primi !!!!!!!
sto dando di matto o wiki è impazzita ???
se sono uscito pazzo qualche anima pia mi spiega la situazione ???
proviamo....
Concept
Fermat's little theorem states that if p is prime and
$ \displaystyle 1 \le a < p $
,then
$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
quindi.....
voglio vedere se 8 è numero primo
come dice wiki , prendo a maggiore/uguale ad $ \displaystyle 1 $ e come contemplato sopra $ \displaystyle 1 $ è minore del numero che voglio testare $ \displaystyle 8 $
THEN ( per dirla con wiki )
$ \displaystyle a^{8-1} \equiv 1 \pmod{8} $
ERGO ( per dirla con Cicerone )
$ \displaystyle a^{7} \equiv 1 \pmod{8} $
sostituendo la a
$ \displaystyle 1^{7} \equiv 1 \pmod{8} $
$ \displaystyle 1^{7} \equiv 1 \pmod{8} $
$ \displaystyle 1 \equiv 1 \pmod{8} $
quindi qui risulta che $ \displaystyle 8 $
è un numero primo !!!!
( a meno che il sole non mi abbia fuso l'unico neurone funzionante...mooooooolto probabile)
chiedo anticipatamente scusa delle cavolate , se ne sto dicendo
Concept
Fermat's little theorem states that if p is prime and
$ \displaystyle 1 \le a < p $
,then
$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
quindi.....
voglio vedere se 8 è numero primo
come dice wiki , prendo a maggiore/uguale ad $ \displaystyle 1 $ e come contemplato sopra $ \displaystyle 1 $ è minore del numero che voglio testare $ \displaystyle 8 $
THEN ( per dirla con wiki )
$ \displaystyle a^{8-1} \equiv 1 \pmod{8} $
ERGO ( per dirla con Cicerone )
$ \displaystyle a^{7} \equiv 1 \pmod{8} $
sostituendo la a
$ \displaystyle 1^{7} \equiv 1 \pmod{8} $
$ \displaystyle 1^{7} \equiv 1 \pmod{8} $
$ \displaystyle 1 \equiv 1 \pmod{8} $
quindi qui risulta che $ \displaystyle 8 $
è un numero primo !!!!
( a meno che il sole non mi abbia fuso l'unico neurone funzionante...mooooooolto probabile)
chiedo anticipatamente scusa delle cavolate , se ne sto dicendo
il piccolo teorema di fermat dice che se $ p $ è primo, allora si verifica la congruneza, ma non che la conguenza si verifica solo con numeri primi....
in poche parole, con i primi è sempre vera la congruenza per qualsiasi $ a $, con i non primi a volte si a volte no.
è il teorema di wilson che è vero anche al contrario....
p.s. la condizione su $ a $ in fermat piccolo non era solo che deve essere coprima a $ p $?
p.p.s
in poche parole, con i primi è sempre vera la congruenza per qualsiasi $ a $, con i non primi a volte si a volte no.
è il teorema di wilson che è vero anche al contrario....
p.s. la condizione su $ a $ in fermat piccolo non era solo che deve essere coprima a $ p $?
p.p.s
è vero... anche con il teorema di wilson risulterebbe che 1 è primo se non si pone p>1....SkZ ha scritto:comunque mi pare che quasi tutte le definizioni di numero primo abbiano $ $p>1$ $ tra le ipotesi, ergo metticelo pure tu all'inizio del tuo post
comunque il fatto del piccolo teorema di fermat e' usato spessissimo per trovare numeri primi grandi, anzi, l'algoritmo piu' usato per trovare (probabili) numeri primi grandi e' proprio basato su di esso:
http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rab ... ality_test
esiste un algoritmo con complessita' polinomiale ma e' in $ O(n^{12}) $!!!
http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rab ... ality_test
esiste un algoritmo con complessita' polinomiale ma e' in $ O(n^{12}) $!!!
paolo
una definizione che non necessita di $ $p>1$ $ mi pare sia
Sia $ $D_n=\{x\in\mathbb{N}^*:\frac{n}{x}\in\mathbb{N}\}$ $, $ $p$ $ e' primo se e solo se $ $card(D_p)=2$ $
in tal caso $ $card(D_1)=1$ $, ma la cosa carina e' che $ $card(D_0)=\aleph_0$ $
definizione poco utile pero'
Sia $ $D_n=\{x\in\mathbb{N}^*:\frac{n}{x}\in\mathbb{N}\}$ $, $ $p$ $ e' primo se e solo se $ $card(D_p)=2$ $
in tal caso $ $card(D_1)=1$ $, ma la cosa carina e' che $ $card(D_0)=\aleph_0$ $
definizione poco utile pero'
Ultima modifica di SkZ il 19 lug 2008, 17:19, modificato 1 volta in totale.
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Girando un po in internet, stavo cercando un elenco dei numeri primi da uno a 10000, quando ho trovato per caso questo. Ditemi, se vi va, che ne pensate. Io personalmente non mi trovo d'accordo su un punto e mi perdo in un altro, ma di certo non sono in grado di dare un giudizio!
http://www.geocities.com/tetractius83/C ... eprimi.htm
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a proposito di siti, buon sito (in inglese) e'
http://primes.utm.edu/
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