Norma e modulo
Norma e modulo
C'è qualche differenza tra la norma e il modulo di un vettore o di un numero complesso?
Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Boh mi è sorto il dubbio perchè la norma viene indicata con 2 lineette mentre il modulo con una lineetta.oblomov ha scritto:Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...
Perchè allora molti dicono che sono la stessa cosa?
La norma è una qualsiasi funzione$ || \cdot || $ di uno spazio vettoriale in $ \mathbb{R} $, che verifica alcune proprietà:
1) $ ||v|| \geq 0 $ e vale l'uguale se e solo se $ v=0 $;
2) $ || \alpha v || = | \alpha| \cdot ||v|| $ $ \forall \alpha \in \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $;
3) $ ||v+w|| \leq ||v||+||w|| $.
Il modulo in $ \mathbb{R}^n $ o quello in $ \mathbb{C} $ (o anche in $ \mathbb{R} $), non sono che un tipo particolare di norma (quella euclidea appunto) che determina, da un punto di vista geometrico, la distanza dall'origine.
1) $ ||v|| \geq 0 $ e vale l'uguale se e solo se $ v=0 $;
2) $ || \alpha v || = | \alpha| \cdot ||v|| $ $ \forall \alpha \in \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $;
3) $ ||v+w|| \leq ||v||+||w|| $.
Il modulo in $ \mathbb{R}^n $ o quello in $ \mathbb{C} $ (o anche in $ \mathbb{R} $), non sono che un tipo particolare di norma (quella euclidea appunto) che determina, da un punto di vista geometrico, la distanza dall'origine.
Ultima modifica di Mathomico il 11 giu 2008, 23:38, modificato 2 volte in totale.
Come dice Mathomico, la norma euclidea non è che una delle possibili norme.
Per capirci: dato un vettore in $ \mathbb R^n $ (in realtà, come giustamente è stato precisato, possiamo lavorare su qualsiasi spazio vettoriale, ma un esempio "geometrico" è più intuitivo) definito dalle sue coordinate $ (x_1, x_2, ..., x_n) $, la sua norma euclidea è data da $ $\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$ $, ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.
Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali
Per capirci: dato un vettore in $ \mathbb R^n $ (in realtà, come giustamente è stato precisato, possiamo lavorare su qualsiasi spazio vettoriale, ma un esempio "geometrico" è più intuitivo) definito dalle sue coordinate $ (x_1, x_2, ..., x_n) $, la sua norma euclidea è data da $ $\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$ $, ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.
Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Quasi: serve un "modulo" , cioèOblomov ha scritto:ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.
$ \sum_{i=1}^n |x_i| $ è una norma.
Perdonato.Oblomov ha scritto: Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali
@Desmo: sì, $ v $ è un generico vettore dello spazio su cui stai considerando la norma.