Norma e modulo

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Desmo90
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Norma e modulo

Messaggio da Desmo90 » 11 giu 2008, 23:15

C'è qualche differenza tra la norma e il modulo di un vettore o di un numero complesso?

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Oblomov
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Messaggio da Oblomov » 11 giu 2008, 23:20

Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...
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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 11 giu 2008, 23:25

oblomov ha scritto:Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...
Boh mi è sorto il dubbio perchè la norma viene indicata con 2 lineette mentre il modulo con una lineetta.
Perchè allora molti dicono che sono la stessa cosa?

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Mathomico
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Messaggio da Mathomico » 11 giu 2008, 23:34

La norma è una qualsiasi funzione$ || \cdot || $ di uno spazio vettoriale in $ \mathbb{R} $, che verifica alcune proprietà:
1) $ ||v|| \geq 0 $ e vale l'uguale se e solo se $ v=0 $;
2) $ || \alpha v || = | \alpha| \cdot ||v|| $ $ \forall \alpha \in \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $;
3) $ ||v+w|| \leq ||v||+||w|| $.

Il modulo in $ \mathbb{R}^n $ o quello in $ \mathbb{C} $ (o anche in $ \mathbb{R} $), non sono che un tipo particolare di norma (quella euclidea appunto) che determina, da un punto di vista geometrico, la distanza dall'origine.
Ultima modifica di Mathomico il 11 giu 2008, 23:38, modificato 2 volte in totale.

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 11 giu 2008, 23:35

Oblomov ha scritto:Sì, se con norma intendi quella euclidea, che ad ogni vettore fa corrispondere la sua distanza dall'origine; di norme, però, ce ne sono diverse...
ma dire norma o dire modulo non è la stessa cosa?

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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 11 giu 2008, 23:47

@Mathomico
Ma che cos'è $ $v $, un vettore?

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Oblomov
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Messaggio da Oblomov » 11 giu 2008, 23:53

Come dice Mathomico, la norma euclidea non è che una delle possibili norme.
Per capirci: dato un vettore in $ \mathbb R^n $ (in realtà, come giustamente è stato precisato, possiamo lavorare su qualsiasi spazio vettoriale, ma un esempio "geometrico" è più intuitivo) definito dalle sue coordinate $ (x_1, x_2, ..., x_n) $, la sua norma euclidea è data da $ $\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$ $, ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.
Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali :wink:
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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 12 giu 2008, 00:03

Grazie mille a tutti ho capito.

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Mathomico
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Messaggio da Mathomico » 12 giu 2008, 08:03

Oblomov ha scritto:ma nulla vieta di lavorare con altre norme, ad esempio quella definita da $ $\sum _{i=1}^n x_i$ $, che rispetta la definizione di norma.
Quasi: serve un "modulo" :D, cioè
$ \sum_{i=1}^n |x_i| $ è una norma.
Oblomov ha scritto: Tutto questo naturalmente è da prendersi con le pinze visto che non ho una conoscenza così approfondita degli spazi vettoriali
Perdonato.

@Desmo: sì, $ v $ è un generico vettore dello spazio su cui stai considerando la norma.

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Oblomov
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Messaggio da Oblomov » 12 giu 2008, 23:54

Mathomico ha scritto:serve un "modulo" :D
Piccola dimenticanzuccia :oops:
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