Qualcuno mi spiega (o mi fa vedere una dimostrazione semplice se esiste) xkè se un polinomio a coefficienti reali ha per radice un numero complesso allora ha per radice anche il suo coniugato?????
L'unica cosa che mi è venuta in mente e che dal prodotto di un numero complesso per il suo coniugato la parte immaginaria si semplifica... che è quello che a noi interessa....
Radici complesse di un polinomio
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E' facile: se tu hai un polinomio nella forma
$ \displaystyle P(z) = \sum_{i=0}^n a_n z^n $
con $ ~a_j\in\mathbb{R} $ per ogni $ ~j=0,\dots n $
e sai che $ ~z $ è una soluzione di $ ~P(z)=0 $, allora coniugando la tua equazione i coefficienti reali restano uguali e ottieni
$ \displaystyle P(\bar{z})= \sum_{i=0}^n a_n \bar{z}^n=0 $
e quindi anche il coniugato di z è soluzione.
$ \displaystyle P(z) = \sum_{i=0}^n a_n z^n $
con $ ~a_j\in\mathbb{R} $ per ogni $ ~j=0,\dots n $
e sai che $ ~z $ è una soluzione di $ ~P(z)=0 $, allora coniugando la tua equazione i coefficienti reali restano uguali e ottieni
$ \displaystyle P(\bar{z})= \sum_{i=0}^n a_n \bar{z}^n=0 $
e quindi anche il coniugato di z è soluzione.
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Fondamentalmente si applicano due proprietà del coniugio che insieme sono veramente potenti:
$ \overline{z_1}+\overline{z_2} = \overline{z_1+z_2} $
$ \overline{z_1}\cdot\overline{z_2} = \overline{z_1\cdot z_2} $
sapendo questo se:
$ \displaystyle P(x) = \sum^n_{i=0} a_nx^n $
$ P(z) = 0 $
allora $ \displaystyle P(\overline{z}) = \sum^n_{i=0} a_n \overline{z}^n = \sum^n_{i=0} \overline{a_nz^n} = \overline{\sum^n_{i=0} a_nz^n} = \overline{0} = 0 $
(che poi è esattamente la stessa cosa che ha detto killing buddha)
$ \overline{z_1}+\overline{z_2} = \overline{z_1+z_2} $
$ \overline{z_1}\cdot\overline{z_2} = \overline{z_1\cdot z_2} $
sapendo questo se:
$ \displaystyle P(x) = \sum^n_{i=0} a_nx^n $
$ P(z) = 0 $
allora $ \displaystyle P(\overline{z}) = \sum^n_{i=0} a_n \overline{z}^n = \sum^n_{i=0} \overline{a_nz^n} = \overline{\sum^n_{i=0} a_nz^n} = \overline{0} = 0 $
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
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