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La difficoltà più grande di questa selezione è stata che io (stupido) non ho pensato di approfondire bene cosa si intendesse per dimostrazione... alla fine mi sono arrangiato, ma se qualcuno mi sa spiegare bene o indirizzarmi da qualche parte gliene sarei grato!

Beh, forse il modo più semplice è vedere un esempio.

Questo l'ho tratto da Wikipedia.

Tutti sanno che la somma di due numeri interi pari è pari, e nessuno (nemmeno un correttore in una gara delle Olimpiadi) si sognerebbe di richiedere una dimostrazione. Comunque, eccone una:

Siano dati due interi pari $ x $ e $ y $. Un numero è pari se e solo se è divisibile per 2, quindi devono esistere due interi $ a $ e $ b $ tali che $ x = 2a $ e $ y = 2b $.

Ma allora la somma $ x+y = 2a + 2b = 2(a+b) $ è pure multipla di due, e quindi è pari. []

grazie!

Per vedere qualche esempio in più, puoi guardare sulla home page le soluzioni della gara di Febbraio: ognuna delle soluzioni proposte è una dimostrazione.
In generale, una "dimostrazione" è una serie di passaggi _completamente giustificati_ che portano dall'ipotesi alla tesi. In una dimostrazione non puoi dare per scontato nulla del tipo "si vede che questo numero è sempre positivo", né puoi scrivere soltanto le formule e lasciare al correttore il compito di interpretarle: una dimostrazione dev'essere un testo in italiano con tutti i verbi e i punti e virgola al loro posto.
Le uniche cose che puoi omettere sono quelle che "dai per scontate", ma occhio:
-non omettere nulla a meno che non sia COMPLETAMENTE EVIDENTE che sai farlo, che si fa velocemente (non "facendo 237 comodi casi si vede che...), e che non ci sono passaggi in cui bisogna fare attenzione (per esempio, discutere un denominatore). Il concetto di "completamente evidente" varia a seconda del livello a cui è la dimostrazione: in un preIMO si può dare per scontata l'applicazione 'brutale' di induzione o congruenze; a Febbraio e Cesenatico si può dare per scontato praticamente solo quello che è scritto sui testi di matematica delle superiori.
-non omettere mai un conto o altro che da solo corrisponda a più del 50% dell'esercizio, o chi corregge potrebbe averne a male.