OliForum Matematico

Ciao a tutti, è il primo messaggio che scrivo in questo forum anche se è da un pò di tempo che l'ho scoperto e lo frequento passivamente.
Nei giorni scorsi avrei dovuto partecipare al test di ammissione al Sant'Anna per la facoltà di ingegneria ma a causa di uno spiacevole imprevisto (febbre molto alta) non ho potuto partecipare. Quindi sia per la curiosità di sapere se sarei stato in grado di risolvere i quesiti, sia perchè sempre a causa della febbre non ho nulla da fare e mi annoio chiedo gentilmente a quelli che vi hanno partecipato se possono scrivere in questa discussione i testi degli esercizi dati.
Ringrazio fin da ora chi mi risponderà.
Ciao

Allora:4 problemi di matematica e 4 di fisica.
Matematica
1/4 2 quadrati hanno lato 1 e il secondo quad. ha il centro in un vertice dell'altro.
Dimostrare che l'area dell'intersezione dei due quadrati non dipende dall'angolo con cui è ruotato il secondo rispetto al primo.
Quest'affermazione è vera per ogni valore del lato del 2° quadrato?

ATTENZIONE AL SEGUENTE PROBLEMA, CI HA INCULATO TUTTI.

2/4 Ci sono k scatole.tutte pesano 100g, tranne che 3,CONSECUTIVE, che pesano 99g. a)Nel caso di k=6, è possibile con una bilancia (ad un solo piatto,che restituisce il peso complessivo) determinare quali sono le scatole leggere con 1 sola pesata?
b)e se le scatole sono k=12 è possibile con 2 pesate?
c)e se le scatole sono k=18 è sempre possibile con 2 pesate?

3/4 La scuola s.anna organizza giornate di visita della scuola a pagamento.300€ è la quota individuale da versare. Tuttavia,uno studente che ha pagato la quota si presenta con una probabilità p.(se uno non si presenta perde la quota).Si richiede quale sia la strategia migliore in funzione di p x la scuola,cioè se sia conveniente accettare più di una prenotazione x ciascun giorno, in modo tale che:
- possa visitare la scuola SOLO il primo studente che si presenta
- se qualcuno non si presenta, perde i suoi 300€
- se qualcuno si presenta, ma non può entrare, perché il posto è già occupato, riceve indietro la sua quota, più 500 €.
Il numero massimo di prenotazioni è,per legge, 3.
Alla scuola conviene:accettare solo una prenotazione?accettarne 2?o 3?

4/4 Una nave deve compiere una regata controvento.Il tratto da percorrere è un segmento L.
La nave si muove a velocità costante.La nave per potersi muovere deve formare con la direzione @ del vento, che è antiparallela al segmento L, un angolo diverso da 0, altrimenti rimarrebbe ferma. La velocità della nave in funzione dell'angolo @ è v=v0(sen(@/2))^2 dove v0 è la velocità del vento.
Sapendo che per cambiare direzione la nave impiega un tempo t0, qualunque sia l'angolo di virata,
a)trovare il minor tempo necessario a completare il percorso, se la nave vira una volta sola, e percorre 2 tratti di mare identici, prima e dopo la virata.
b)come sopra, però con i 2 tratti non necessariamente identici
c)si trovi il tempo minore nel caso generale.

A meno di castronerie, la prima richiesta del problema 1 (la dimostrazione, per intenderci) è la soluzione di un quesito dei Giochi di Archimede degli ultimi 10 anni = non ricordo la data!... sbaglio, forse?

Ponnamperuma ha scritto:A meno di castronerie, la prima richiesta del problema 1 (la dimostrazione, per intenderci) è la soluzione di un quesito dei Giochi di Archimede degli ultimi 10 anni = non ricordo la data!... sbaglio, forse?

no infatti c'ho messo 30 secondi a farlo...

non capisco però come mai il secondo vi abbia inculato

cioè, io l'ho risolto così:

a)pesi le prime 3 scatole; se P è il peso si avrà:
P=300 =>le scatole leggere sono le ultime 3
P=299 =>le scatole leggere solo la 3 la 4 e la 5
P=298 =>2,3,4
P=297 =>1,2,3

b)pesi le prime 6; se P è sempre il peso:
P=600 (vedi punto a) con le ultime 6 scatole)
P=599 => 6,7,8
P=598 =>5,6,7
P=597 => (vedi punto a) con prime 6 scatole)

c) ho dimostrato che il num. massimo di scatole tra cui le 3 erano "disponibili a farsi trovare" con 1 pesata era 6 e quindi con 12 era due e con 18, conseguentemente 3....

invece il terzo punto ha soluzione.
i laureandi al s.anna a test concluso ci hanno detto che era l'esercizio più difficile proprio x questo..

supergrane ha scritto:invece il terzo punto ha soluzione.
i laureandi al s.anna a test concluso ci hanno detto che era l'esercizio più difficile proprio x questo..

a dire la verità lo avevo sentito dire (e maledire) ma vi hanno anche detto la soluzione?

la soluzione c'è!
Io l'ho fatta considerando la seconda pesata come dipendente dalla prima, ma mi hanno fatto notare che è possibile farlo anche senza dipendenza (cioè facendo la seconda pesata senza conoscere il risultato della prima).
Secondo me è molto bello come esercizio!

Grazie mille per i problemi...mi metto subito al lavoro!
Ciao

A questo punto postate la soluzione di questo ultimo punto

paolo88 ha scritto:A questo punto postate la soluzione di questo ultimo punto

infatti, ora sono alquanto curioso... anche perchè nonostante ci abbia pensato questi tre giorni non sono venuto a capo di nulla

Ogni pesata può distinguere al massimo 4 situazioni diverse:
tra le scatole pesate possono trovarsi 3,2,1 oppure nessuna scatola "leggera".
Quindi con 2 pesate posso distinguere 4*4=16 diverse configurazioni.
E 16 è esattamente il numero di diverse triplette consecutive presenti in un insieme da 18.

Un metodo per trovarle può essere il seguente.

Prima pesata: peso le scatole 4,5,6,7,12,13,14,15
Seconda pesata: peso le scatole 1,2,3,4,5,6,8,9,12

Ottengo una tabella che, a seconda del numero delle scatole leggere trovate nelle due pesate mi fornisce il numero delle scatole leggere in questione.

(sulla prima colonna riporto il numero di scatole leggere trovate con la prima pesata, sulla seconda colonna il numero di scatole leggere trovate con la seconda pesata e sulla terza colonna il posizionamento delle scatole leggere)


1°p-2°p----scatole leggere
0------0----16,17,18
1------0----15,16,17
2------0----14,15,16
3------0----13,14,15
0------1----9,10,11
1------1----10,11,12
2------1----11,12,13
3------1----12,13,14
0------2----8,9,10
1------2----7,8,9
2------2----6,7,8
3------2----5,6,7
0------3----1,2,3
1------3----2,3,4
2------3----3,4,5
3------3----4,5,6

questo metodo è buono ma ho solo un dubbio, non è che nella seconda pesata va messa anche la scatola 12?

Certo che va messa...l'ha anche contata

paolo88 ha scritto:questo metodo è buono ma ho solo un dubbio, non è che nella seconda pesata va messa anche la scatola 12?

Certo... Distrazione mia!

qualcuno si ricorda quelli di fisica??