Indam 2006/2007

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 19 set 2006, 16:02

Ecco le 10 risposte corrette (o almeno che ritengo tali) alle crocette:

- Poligono con 40 vertici: 1/13
- Probabilità: 1/2
- Prisma a base pentagonale: 10
- Lampadine 5
- $ m^2 + 3m $: 1 soluzione
- La base dell'altezza cade sempre nel circocentro
- Ci sono infiniti cavalieri e infiniti furfanti
- Somma delle cifre di 3^qualcosa: 10320 se non ricordo male
- Vince sempre Alice
- f(2006) = 9.

Valori numerici dei problemi:
Problema 1 (iv) il minimo è -10 (due vertici opposti): siccome S è pari ma non multiplo di 4, basta osservare che S non= 14 per dimostrare che -10 è il minimo.
Problema 2 (iii) i tre angoli devono essere compresi tra 45° e 90°, estremi esclusi.

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 19 set 2006, 17:26

Confermo.

Bye,
#Poliwhirl#

sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 19 set 2006, 21:51

Viste le risposte corrette, quanto pensate di aver preso Poliwhirl,Torquemada,Zena,wattia ecc...?

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 19 set 2006, 22:15

...C'è modo di vedere i problemi?

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Messaggio da Poliwhirl » 19 set 2006, 23:05

Da 75 a 83 credo... supponendo uniforme la distribuzione dei punti nelle diverse parti dei problemi, e sperando che agli esaminatori piacciano le mie dimostrazioni... :)

Bye,
#Poliwhirl#

wattia
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Messaggio da wattia » 20 set 2006, 09:36

Le soluzioni dei quesiti sono uguali alle mie, quindi di quelli posso darmi 43 punti ormai praticamente sicuri (8 giuste più 2 bianche). Dei problemi non posso dire niente, comunque massimo 35, il primo è uguale a quello che avete scritto mentre del terzo non so nulla, comunque totale tra 72 e 78 più o meno. Speriamo in bene...............

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sv
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-__-

Messaggio da sv » 21 set 2006, 10:51

sqrt2 ha scritto:Ecco le 10 risposte corrette (o almeno che ritengo tali) alle crocette:

- Poligono con 40 vertici: 1/13
- Probabilità: 1/2
- Prisma a base pentagonale: 10
- Lampadine 5
- $ m^2 + 3m $: 1 soluzione
- La base dell'altezza cade sempre nel circocentro
- Ci sono infiniti cavalieri e infiniti furfanti
- Somma delle cifre di 3^qualcosa: 10320 se non ricordo male
- Vince sempre Alice
- f(2006) = 9.

Valori numerici dei problemi:
Problema 1 (iv) il minimo è -10 (due vertici opposti): siccome S è pari ma non multiplo di 4, basta osservare che S non= 14 per dimostrare che -10 è il minimo.
Problema 2 (iii) i tre angoli devono essere compresi tra 45° e 90°, estremi esclusi.
hmmmm...
accipicchiolina....sviluppando un prisma a base pentagonale a me è sembrato che fosse possibile individuare 30 diagonali...non 10...why?

poi, come fai a dire che "- Ci sono infiniti cavalieri e infiniti furfanti"? non mi ricordo esattamente il testo del quesito però...boh'!a me sembrava diversa la risposta...

Alice inoltre vince solo se gioca opportunamente poichè in una alternativa potrebbe regalare la vittoria all'avversario se non erro...ma non mi sembrava...poichè il gioco consisteva nello scegliere in un'assieme di uno o più elementi\alternative non è detto, ad esempio, che fra le due di un caso finale Alice scelga sempre quella ovviamente vincente, o no?

infine, ma rifacendomi all'inizio, evidentemente mi sono un po incasinato :lol: nel poligono con 40 vertici, mi sembra addirittura di aver risposto 3/13 o qualcosa di simile, please mi spiegheresti come sei arrivato a 1/13?( o comunque sia chiunqua volglia rispondere la risoluzione è ben accetta)

Graazzzzie
ciao!
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phi
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Messaggio da phi » 21 set 2006, 11:59

Premetto che non sono certa di ricordare esattamente i testi, soprattutto quello di cavalieri e furfanti, quindi correggetemi se sbaglio!
Scegliendo a caso 3 vertici di un 40-agono regolare, qual è la probabilità che essi formino un triangolo rettangolo?
Perché il triangolo sia rettangolo, devi scegliere 3 vertici di cui due siano diametralmente opposti. Un modo semplice per contare i triangoli rettangoli è scegliere prima questi due vertici (40/2 modi) e poi il terzo (a quel punto 38 modi). I triangoli totali sono invece le combinazioni dei 40 vertici a 3 a 3. Quindi la probabilità è $ \frac{20 \times 38 \times 3!}{38 \times 39 \times 40}=\frac{3}{39}=\frac{1}{13} $.
Quante sono le diagonali di un prisma a base pentagonale?
Contiamole scegliendo prima un vertice della faccia inferiore (pentagonale). A quel punto per formare una diagonale possiamo congiungerlo a soli 2 vertici della faccia superiore (gli altri 3 si trovano su una faccia comune col primo, e quelli della faccia inferiore... beh, a maggior ragione). Quindi le diagonali sono esattamente $ 5 \times 2 $.
Solita isola di cavalieri e furfanti, infiniti abitanti. Ogni abitante ha un indice. Quelli di indice pari dicono "I cavalieri sono in numero finito".
Gli abitanti di indice pari non possono essere un po' furfanti un po' cavalieri, perché la loro dichiarazione o è vera o è falsa. Se fossero cavalieri sarebbero infiniti, quindi dichiarerebbero il falso, contraddizione. Ergo sono furfanti. Ergo esistono infiniti furfanti, e, siccome stanno mentendo, anche infiniti cavalieri.
Alice e Bob fanno un gioco. Partono da un numero naturale; a turno scompongono il numero in due fattori (naturali) diversi dal numero stesso e da 1, e sostituiscono al numero di partenza la somma dei due fattori. Alice comincia con 45.
Vabbeh che qua non si capiva bene se fosse Alice o Bob a dover scomporre. Comunque direi che era Bob.
Ti fai semplicemente i casi:
___________________________45=5*3*3___________________________
Bob:______15+3=2*3*3________oppure______________5+9=7*2_______
Alice:__6+3=3*3____9+2 primo: VITTORIA!____________7+2=3*3_______
Bob:__3+3=3*2__________________________________3+3=3*2_______
Alice:__3+2 primo: VITTORIA!_______________________3+2 primo: VITTORIA!

Da cui si vede (se si capisce 'sto schema) che Alice, anche se fosse così buona da voler regalare la vittoria a Bob, non ci riuscirebbe...

Spero di essere stata un pochino utile...

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hydro
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Re: -__-

Messaggio da hydro » 21 set 2006, 12:06

sv ha scritto:
sqrt2 ha scritto:Ecco le 10 risposte corrette (o almeno che ritengo tali) alle crocette:

- Poligono con 40 vertici: 1/13
- Probabilità: 1/2
- Prisma a base pentagonale: 10
- Lampadine 5
- $ m^2 + 3m $: 1 soluzione
- La base dell'altezza cade sempre nel circocentro
- Ci sono infiniti cavalieri e infiniti furfanti
- Somma delle cifre di 3^qualcosa: 10320 se non ricordo male
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- f(2006) = 9.

Valori numerici dei problemi:
Problema 1 (iv) il minimo è -10 (due vertici opposti): siccome S è pari ma non multiplo di 4, basta osservare che S non= 14 per dimostrare che -10 è il minimo.
Problema 2 (iii) i tre angoli devono essere compresi tra 45° e 90°, estremi esclusi.
poi, come fai a dire che "- Ci sono infiniti cavalieri e infiniti furfanti"? non mi ricordo esattamente il testo del quesito però...boh'!a me sembrava diversa la risposta...

il testo diceva che sull'isola ci sono infiniti abitanti, $ a_1,a_2,...a_n,... $. Un giorno tutti quelli di indice pari dicono "sull'isola c'è un numero finito di cavalieri".

Ora, sicuramente quelli che hanno parlato sono o tutti furfanti o tutti cavalieri, poichè se così non fosse, un furfante avrebbe detto la medesima frase di un cavaliere, il che è impossibile. Se fossero tutti cavalieri, avrebbero mentito, poichè ovviamente vi sono infiniti abitanti di indice pari. Quindi dovevano essere tutti furfanti, per cui hanno mentito e sull'isola ci sono infiniti cavalieri, ma anche infiniti furfanti, sempre poichè vi è un infinito numero di abitanti di indice pari.
sv ha scritto:infine, ma rifacendomi all'inizio, evidentemente mi sono un po incasinato nel poligono con 40 vertici, mi sembra addirittura di aver risposto 3/13 o qualcosa di simile, please mi spiegheresti come sei arrivato a 1/13?( o comunque sia chiunqua volglia rispondere la risoluzione è ben accetta)
Il poligono è regolare, quindi è inscrivibile in una circonferenza. Tutti i triangoli che hanno come vertici 3 vertici del poligono sono anch'essi di conseguenza inscritti nella stessa circonferenza. Un triangolo inscritto è rettangolo se e solo se è inscritto anche nella semicirconferenza, ed ha per base un diametro. Avendo il poligono 40 vertici, vi sono 20 diametri diversi, e per ognuno di essi si possono tracciare 40-2=38 triangoli rettangoli diversi. Quindi il numero dei triangoli rettangoli possibili è 20*38. Il numero totale di triangoli tracciabili coi vertici del poligono è ovviamente $ \displaystyle \binom {40}{3} $, quindi la probabilità è $ \displaystyle \frac{20 \cdot 38}{\binom {40}{3}}=\frac{1}{13} $

Azarus
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Messaggio da Azarus » 21 set 2006, 12:32

...prendo i 2 post sopra come una conferma del fatto che sono lento a scrivere :P

Vabbé, lascio qua il post anche se sono mostruosamente in ritardo


1) Per convincersi che siano 10 basta contarle: da ogni vertice possiamo arrivare ad altri 9 vertici, ma 4 di essi appartengono alla faccia pentagonale ed altri 3 alla superficie laterale.

Ne rimangono 2 ammissibili, dunque ci sono 2*10 diagonali contando 2 volte ciascuna, quindi 10 diagonali.

2) Il testo era qualcosa del genere:

"Su un'isola ci sono infiniti abitanti fra cavalieri e furfanti, ognuno contrassegnato da un numero naturale. Un giorno tutti gli abitanti pari dicono che ci sono un numero finito di cavalieri, cosa possiamo dire del numero dei cavalieri e dei furfanti?"

Se infiniti abitanti pari fossero cavalieri avremmo un assurdo, se esistesse un numero finito di cavalieri nell'isola allora, esistendo almeno un furfante fra gli abitanti pari, questi avrebbe detto la verità, assurdo.

Dunque ci sono infiniti cavalieri, e ci sono solo finiti cavalieri fra gli abitanti pari: questo basta per concludere che entrambe le classi sono infinite.

In realtà è anche vero che tutti gli abitanti pari sono furfanti, altrimenti si avrebbe un assurdo.

3) In effetti anche a me risulta che deve giocare bene, perché esiste un singolo ramo in cui gioca in modo suicida.

edit: questo è falso, rifacendo l'albero risulta che, a meno dell'ambiguità grammaticale, vince in ogni caso uno dei due.

4) Di tutte le triplette di vertici devi scegliere quelle con una coppia di vertici diametralmente opposti ed un altro punto a piacere. Queste triplette sono 20*38, quindi si ha:

$ \displaystyle \frac{20\cdot 38}{\binom{40}{3}} = \frac{1}{13} $
Ultima modifica di Azarus il 21 set 2006, 20:20, modificato 2 volte in totale.

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sv
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Messaggio da sv » 21 set 2006, 12:35

che pi**a che sono...certo! anch'io ho risposto 1/13 difatti quel qualcosa come 3/13 o simile in realtà era 3/39...ok... :? ,
ma
la storia delle diagonali non mi convince proprio...

prova a scomporre il prisma in modo da avere le due basi da una parte, che non dovrebbero interessare, e le facce laterali attaccate una a fianco all'altra, come se lo avessi "steso". In questa maniera e sottolineando la nota della consegna che intendeva come diagonali segmenti contenenti vertici non appartenti alla stessa faccia, il problema a mio avviso è abbastanza immediato poichè consente una risoluzione visibile + piccola considerazione, mi spiego.

parti ad esempio da uno dei vertici estremi, quindi del "rettangolone" che contiene tutte le facce. ragionando i due dimensioni disegni un segmento che arriva diagonalmente al primo punto possibile, a destra o a sinistra, rispettando la consegna( è il corrispondente del punto iniziale in una simmetria centrale che ha per centro il punto medio del primo spigolo(in 2d lato) a fianco, a destra o a sinistra, di quello prescelto). procedendo oltre ottieni 3 diagonali perchè sei costretto ad escludere la quarta che altrimenti apparterrebbe alla stessa faccia.
ripetendo questo procedimento per ogni vertice inizialmente moltiplichi 3x5 poi simmetrizzi (è implicito che esegui lo stesso procedimento per i vertici sottostanti)e dunque moltiplichi 15x2=30.

a me sembra che funzioni...(se mi sono sbagliato ho fatto una figura di M**DA MONDIALE!!!)
babeh'...fatemi sapè!
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m@zzi
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Messaggio da m@zzi » 21 set 2006, 12:53

ciao, sono nuovo, vorrei chiedervi se vi ricordate il testo del quesito la cui soluzione è f(2006)=9.

Grazie ;)

l3x
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Messaggio da l3x » 21 set 2006, 14:35

Si diceva tipo: "La funzione f è crescente (non strettamente) e si sa che f(f(x))=f(x^2) e che f(12)=9. Per risolverlo basta porre f(f(12))=f(144), cioè f(9)=f(144). La funzione quindi è costante e il suo valore è sempre 9.

Io ho risposto a 9 quesiti su 10, ho fatto tutto il primo problema con una dimostrazione lunga ma efficace, il primo punto del secondo e i primi tre punti del terzo problema svolti in maniera molto veloce.. di sicuro ho 45 punti per i quesiti mentre non sapendo come valutano i problemi potrei arrivare anche fino ad 80

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Messaggio da sv » 21 set 2006, 15:36

Please qualcuno può confutare quello che ho scritto sopra?
grazie ccccccciiiaoooooo
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Messaggio da phi » 21 set 2006, 16:18

SV, non capisco molto la parte con la simmetria centrale, ad ogni modo...
Ok, l'idea del "rettangolo" va bene (diciamo che lo vedo "in orizzontale"). Ma da ognuno dei vertici in basso non puoi far partire 3 diagonali: il vertice "direttamente superiore" lo escludi, ovvio; lo stesso fai con il vertice immediatamente "in alto a destra" e con quello "in alto a sinistra" (d'accordo?); adesso però ti rimangono 2 vertici, non 3: i due vertici in alto agli estremi sono in realtà lo stesso vertice "sdoppiato": o li hai esclusi entrambi in un colpo solo col ragionamento di prima, o non puoi contarli due volte adesso. Quindi, in definitiva, 5 per 2.
Quanto al simmetrizzi... cioè? Se fai la stessa cosa con i vertici sopra, beh... non fai altro che ottenere di nuovo le stesse diagonali, solo in un altro (neanche tanto altro) modo.
Spero di aver capito quello che intendevi, e, cosa forse improbabile :) , di essermi fatta capire.
Comunque dimmi se non torna qualcosa...

edit: sì, ora ho capito anche la simmetria centrale; il problema è che dovevi escludere anche la terza diagonale, anche quella sta sulla stessa faccia, e che non devi "simmetrizzare".
Ultima modifica di phi il 21 set 2006, 16:22, modificato 1 volta in totale.

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