Test di matematica dell'ammissione 2005

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
hexen
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Messaggio da hexen » 05 set 2005, 10:42

scusate, riguardo al primo problema è possibile calcolare la probabilità in questo modo?

$ |b|<n $
$ |c|<n $
moltiplicando membro a membro
$ |bc|<n^2 $ ovvero $ -n^2<bc<n^2 $.
il prodotto ad può assumere un valore qualsiasi $ -n^2<ad<n^2 $ mentre il prodotto bc per uguagliarlo deve assumere lo stesso valore, evento E di probabità $ p(E)=\frac 1{2n^2} $. Quindi la probabilità dell'evento contrario è $ p(\bar E) = 1 - \frac 1{2n^2} $ che appartiene all'intervallo dato
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dino
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test IV anno

Messaggio da dino » 05 set 2005, 13:32

..è un pò di tempo che non mi faccio vivo sul forum,ma leggendo i vostri messaggi noto che passa inosservato il test per matematica del 4 anno (sarà perchè chi frequenta il forum è gente "olimpica" e chi fa il test al quarto anno non è più "olimpica..),però ho visto gente più "matura"(ciau Mind!) che magari può darmi una mano per raccattare i testi dello scritto..grazie

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 05 set 2005, 17:36

Ciau dino, quanto tempo!!! Tutto bene lì a Torino?
Vedrò se riesco a procurarmi i testi del 4° anno, magari dai futuri ammessi (insieme alle domande degli orali), quindi forse ti toccherà aspettare un mesetto...

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 05 set 2005, 17:43

Spi ha scritto:6.
(a) [...]
(b) Sia R(x) un polinomio di grado 3 a coefficienti reali tale che R(f(x)) = R(g(x)). Mostrare che f(x) = g(x).
Come ma_go ipotizzava, c'è un modo diverso per fare il punto (b), ma non servono carta e penna. :roll:
Dimostriamo il fatto in generale, per qualunque polinomio R(x) a coefficienti reali e non costante. Essendo un polinomio non costante, R(x) tende a + o - infinito per x-->+/-infinito. Quindi R(x) è definitivamente iniettivo verso destra e verso sinistra (ovvero esiste un x' tale che R è iniettivo per tutti gli x tali che |x|>x'). Dunque esistono infiniti x per cui R(f(x))=R(g(x)) (perché anche f e g tendono a + o - infinito), da cui f(x)=g(x) per l'iniettività. Siccome f e g sono polinomi che coincidono in infiniti punti, essi coincidono ovunque.
Ultima modifica di MindFlyer il 06 set 2005, 16:10, modificato 1 volta in totale.

Spi
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Messaggio da Spi » 05 set 2005, 19:02

hexen ha scritto:scusate, riguardo al primo problema è possibile calcolare la probabilità in questo modo?

$ |b|<n $
$ |c|<n $
moltiplicando membro a membro
$ |bc|<n^2 $ ovvero $ -n^2<bc<n^2 $.
il prodotto ad può assumere un valore qualsiasi $ -n^2<ad<n^2 $ mentre il prodotto bc per uguagliarlo deve assumere lo stesso valore, evento E di probabità $ p(E)=\frac 1{2n^2} $. Quindi la probabilità dell'evento contrario è $ p(\bar E) = 1 - \frac 1{2n^2} $ che appartiene all'intervallo dato
Umh non proprio... questa è, effettivamente, il limite inferiore della probabilità, ma non la esaurisce.
Quando passi da
$ |b| < n $
$ |c| < n $
a
$ |bc| < n^2 $
perdi delle informazioni, per dirla informalmente. La prima coppia di condizioni è più restrittiva della seconda, infatti la prima permette $ (2n+1)^2 $ soluzioni, la seconda $ \infty $. Per capire il perché basta che pensi che se b è 0 c può avere infiniti valori, tutti i naturali, e il prodotto rispetterà sempre la condizione (mentre i due singoli valori non lo rispettano, ed è quello che interessa).
Tuttavia, tra la prima condizione e la seconda è vero il se (ma non il solo se). Questo significa che con il tuo sistema, effettivamente, delimita le possibili soluzioni, ma trovi solo uno dei due limiti, in questo caso quello inferiore.

Ok non sono stato precisissimo ma spero che si sia capito quel che volevo dire :)

floidn
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Messaggio da floidn » 07 set 2005, 11:14

Qualcuno mi può spiegarre meglio il punto (d) dellesercizio 4?

Spi
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Messaggio da Spi » 07 set 2005, 13:12

Se per dimostrarlo usi la conoscenza già acquisita nel punto (c) è facile (non è necessario, ma visto che c'è tanto vale farlo).
Se $ \frac{\alpha}{\pi} $ è un numero razionale, significa che $ \alpha=\frac{m}{n}\pi $. D'altra parte questo significa che $ n\alpha = m\pi $, quindi $ \sin(n\alpha) = 0 $. Si ha che $ B_n = 5^n\sin(n\alpha) = 0 $ (in tutto questo si è considerato un $ n > 2 $, e si vede subito perché altrimenti $ \alpha $ sarebbe multiplo di $ \frac{\pi}{2} $, e non può esserlo perché il suo seno non è nullo né uguale a 1).
Al punto (b) si era dimostrato che $ B_n = 6B_{n-1} - 25B_{n-2} $, e al punto (c) ne era conseguito che $ B_n \equiv B_{n-1} (mod 5) \forall n\geq 2 $. Se esiste un $ B_n (n > 2) $ vuol dire che, $ \forall i > 2 B_i \equiv 0 (mod 5) $. Ma questo è falso perché $ B_2 = 24 \not\equiv 0 (mod 5) $. L'unica possibilità, quindi, è che $ \frac{\alpha}{\pi} $ sia irrazionale.
Ultima modifica di Spi il 07 set 2005, 16:20, modificato 1 volta in totale.

floidn
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Messaggio da floidn » 07 set 2005, 15:16

Scusami ma sono di marmo, ancora una cosa:
in tutto questo si è considerato un $ n>2 $, e si vede subito perché
e poi fai la prova su B_2? Cosa mi sfugge?

Spi
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Messaggio da Spi » 07 set 2005, 16:17

Beh $ B_2 $ lo calcoli a mano e vedi che $ B_2 \equiv 4 (mod 5) $. Poi siccome
$ \forall n \geq 2 $ $ B_n \equiv B_{n+1} (mod 5) $
hai che tutti dal 2 in su hanno la stessa congruenza.
Sopra avevo detto che si considerano n > 2 perché poi sotto parlavo di $ B_{n-1} $ cui non si possono applicare le stesse idee perché non fa parte della successione. Veramente parlo anche di $ B_{n-2} $, ma visto che viene moltiplicato per 25 è sempre $ \equiv 0 (mod 5) $ e il suo valore non importa (purché sia intero).

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