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da Il_Russo » 10 set 2009, 11:43
I polinomi costituiscono un anello euclideo (fanno gruppo commutativo con la somma e quella cosa lì che mi pare si chiami monoide commutativo col prodotto, inoltre è definita la divisione euclidea tra due polinomi), e c'è un teorema che dice che in un anello euclideo ogni elemento ha una scomposizione univoca in elementi primi, non più scomponibili, a meno di invertibili, esattamente come negli interi che è il più famoso anello euclideo. Quindi non è così insensato parlare di polinomi primi, anche se non so quale sia il loro nome preciso.
"A meno di invertibili" vuol dire che, nonostante non ogni elemento abbia un inverso rispetto al prodotto, qualcuno può anche averlo, e questo può portare a scomposizioni diverse, quindi si dice "a meno di invertibili". Gli invertibili sono 1, -1 in Z; 1, -1 (intesi come polinomi costanti) in Z[x]; tutti i razionali non nulli (sempre intesi come polinomi costanti) in Q[x], tutti i reali non nulli (sempre ...) in R[x] e tutti i complessi non nulli (sempre ...) in C[x].
Gli elementi primi di Z[x] e di Q[x] sono un casino. Quelli di R[x] sono i polinomi di primo grado e quelli di secondo con $ \Delta < 0 $. In C[x] sono tutti e soli i polinomi di grado 1.
Non credo però che intendessero tutto questo sproloquio che coinvolge anche le strutture algebriche ad un test di ammissione.
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