Orali atque scritti

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
mark86
Messaggi: 260
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Orali atque scritti

Messaggio da mark86 » 03 ago 2005, 15:34

Volevo chiedere due cosette in merito agli orali sns.... Cosa vi hanno chiesto? In genere quali domande fanno?Non solo la tipologia ma se ne ricordate qualcuna... In aggiunta, per quanto riguarda gli scritti... quali sono i criteri di correzione (sempre che si conoscano) e soprattutto cosa bisogna fare almeno per prendere quel fatidico 7?

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 03 ago 2005, 18:18

dunque..
quanto mi ricordo del mio orale:

- dimostrare che sulla circonferenza goniometrica ci sono infiniti punti razionali (ovvero punti con entrambe le coordinate razionali).

- considera la circonferenza $ x^2 + y^2 = 1 $, e le quattro circonferenze di raggio $ 1 $ centrate nei 4 punti di intersezione degli assi con la circonferenza... traccia le 4 corde parallele agli assi, tra i due punti più vicini di intersezione della circonferenza iniziale con le altre 4. determina l'area della "croce" individuata.
(non ho voglia di spiegarmi meglio... fai il disegno, tanto non cambia sostanzialmente considerare alcune corde invece di altre...).

di altri orali, un problemino carino è:

- considera la successione $ a_0 = 1000! $, tale che $ a_{n+1} $ sia la somma delle cifre di $ a_n $. tale successione si stabilizza? se sì, a che numero?

Avatar utente
moebius
Messaggi: 433
Iscritto il: 08 mag 2005, 19:14

Messaggio da moebius » 04 ago 2005, 07:51

Della seconda domanda non ho capito il disegno :oops:
Per la prima direi terne pitagoriche e per la terza si e $ \displaystyle a_0\ \left(mod\ 9\right) $ nel sistema completo di residui $ \displaystyle \left{1, \ldots, 9\right\} $ (9 nel caso specifico)...
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...

mark86
Messaggi: 260
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mark86 » 04 ago 2005, 19:44

Ma dove sono finiti tutti quei bravi normalisti che frequentano il forum?? Ci dobbiamo forse preoccupare?

Avatar utente
moebius
Messaggi: 433
Iscritto il: 08 mag 2005, 19:14

Messaggio da moebius » 04 ago 2005, 19:57

E' agosto per tutti...
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...

mark86
Messaggi: 260
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mark86 » 04 ago 2005, 23:15

Il rammarico allora è forte.... ma la speranza è l'ultima a morire

Shoma85
Messaggi: 98
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da Shoma85 » 10 ago 2005, 17:45

Ciao...
Di matematica:

1) Dimostrare che esistono infiniti primi della dorma 4n+3 (e poi qualche altra domanda sui primi)

2) Hai un pavimento lungo 10 e largo 3 e delle piastrelle 3*1. Dire in quanti modi diversi puoi piastrallare il pavimento (anche per il pavimento 3*n)

Di fisica (quelle che mi ricordo...) :
Hai un tubo con due sezioni di larghezza diversa (note) , conosci la pressione determinare la velocità. (o qualcosa del genere...). Dire un modo per determinare la pressione...
Spiegare come funziona uno yoyo e qualche domanda su degli urti.

Una domanda parecchio strana che ho sentito è:
Hai un secchio pieno d'acqua che ruota, ad un certo punto sparisce tutto l'universo a parte il secchio, il secchio si rende conto di ruotare?. :?

Buone vacanze a tutti! :)

Faust
Messaggi: 44
Iscritto il: 01 giu 2005, 19:50

Messaggio da Faust » 11 ago 2005, 14:47

L'ultima domanda non è difficile... ci troviamo in pratica un sistema di riferimento in moto rotatorio attorno all' asse delle zeta (il secchio). Allora ci si domanda se le leggi della fisica sono uguali per il secchio anche non osservando l'esterno (l'universo scompare :twisted: ) rispetto, per esempio, ad un osservatore in moto rettilineo unifrme. Poichè il secchio ruota e sottoposto ad accelerazione centripeta sui bordi e quindi se ne deve rendere conto! Dovrebbe andarci di mezzo anche la relatività...
Ich bin der geist, der stets ferneint!

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 11 ago 2005, 15:40

Già, il fatto che la domanda facesse riferimento proprio ad un secchio, può essere un suggerimento: se lo pensi pieno d'acqua, capisci subito che questa non può starsene in piano, ma deve schiacciarsi verso i bordi!

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 20 ago 2005, 16:52

con un po' di ritardo (in effetti è agosto per tutti :D)

il mio orale:

mate

- abbiamo una linea ferroviaria costituita da un segmento lungo 1 km con un certo numero di fermate equispaziate, e un tizio vuole percorrerla tutta (da un estremo all'altro) senza biglietto. egli ad ogni fermata può scegliere se rimanere sul treno su cui si trova o cambiare, andando sempre verso l'estremo opposto rispetto a quello da cui è partito. sapendo che la probabilità di incontrare il controllore su un certo treno è uguale alla distanza in km percorsa su quel treno, si dica qual'è la strategia migliore per il tizio, che ovviamente NON vuole farsi beccare dal controllore :wink:
(il professore che me l'ha proposto ha esordito dicendo che era un problema diseducativo, lol :P)

- vedi II problema del mago

fisica

- c'è un parallelepipedo su un piano inclinato, con sufficiente attrito statico tra i due in modo che il parallelepipedo non scivoli giù. supponiamo di tagliare IDEALMENTE in due metà rettangolari identiche la base del parallelepipedo. tra le due reazioni normali che vengono esercitate dal piano su queste due metà, qual'è la più grande in modulo?

- qualcosina di teorico sui battimenti
(la domanda originale era "qual'è il fenomeno fisico che viene sfruttato quando si accorda un pianoforte")

ciao e in bocca al lupo!

Spi
Messaggi: 54
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Falconara M. (AN)
Contatta:

Messaggio da Spi » 21 ago 2005, 12:23

E' incredibile come queste discussioni riescano a demoralizzarmi in modo atroce :)
Ok, visto che di fronte a certe domande impallidisco un po', una piccola delucidazione da chi già è dentro: si presuppone che alle domande orali (ad esempio, la dimostrazione che vi sono infiniti punti razionali su una circonferenza goniometrica) si risponde immediatamente perché è una cosa già nota o no? E' ovvio che mostrare una tale conoscenza (o rapidità di risoluzione) sarebbe una buona cosa, ma si suppone che il candidato medio lo sappia fare? (ogni riferimento autobiografico è puramente casuale :D)
Puntavo a fare uno scritto decente e un orale poco meglio, dovrò cercare di andar meglio del previsto nello scritto mi sa ;)

Avatar utente
enomis_costa88
Messaggi: 537
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brescia

Messaggio da enomis_costa88 » 23 ago 2005, 21:18

Visto che tutti parlano di problemi e nessuno di soluzioni..non le ho rilette bene e probabilmente contengono molte inesattezze..

Ho provato a guardarli (quelli di Mate) e non mi sembrano particolarmente difficili a parte quello di Talpuz (che ha l'aria di essere una figata e per il quale non ho trovato idee carine)
Dei Ma_go è bellissima la successione.

I Ma_go:
Il primo esercizio si trova tale e quale sull'ultima scheda di Gobbino (anzi li spiega come trovare TUTTE le soluzioni razionali della circonferenza goniometrica). In ogni caso (come già ha fatto notare moebius) sia (a,b,c ) una terna pitagorica allora ho: $ a^2=b^2+c^2 $ ; $ 1=(b/a)^2+(c/a)^2 $ da cui (per l'infinità delle terne pitagoriche) banalmente la tesi.

Il secondo: la circonferenza data ha raggio 1 come tutte le altre. Gli assi radicali saranno quindi:x=+-1/2;y=+-1/2. sostituendo nell'equazione data trovo le coordinate dei punti di intersezione e risolvo il problema (non avendo capito bene la configurazione non posto potenziali cavolate ma sono sicuro che una volta trovati i punti il resto sia il meno; il mio risultato sarebbe $ 2 \sqrt{3}-1 $ ).

La successione:
Step 1 è strettamente decrescente se e solo se ha più di una cifra (come consuetudine la prima cifra è posta diversa da 0)
$ a_n=10^n b_n+...+10 b_1+b_0 > b_n+...+b_1+b_0=a_{n+1} $ ove b_n >0 e b_i per $ i \not = n; n \ge 0 $
9999....999b_n+...+9b_1 > 0 ove i coefficente di b_i e costituito da i 9. l'ultima disuguaglianza è certamente vera poichè $ b_n \not = 0 $ se n > 0.Inoltre se n=0 ovvero se ho una sola cifra la successione si stabilizza (e pe la decrescienza arriverò ad avere una sola cifra).

Step 2: si stabilizza a 9
a_0 = 9k quindi per la definizione della successione e per il criterio di divisibilità per 9 tutti i termini della stessa saranno divisibili per 9. L'unico numero per cui n=0 e a_i=9j è 9.


I Shoma:
il primo: 4n+3 si potrebbe usare Dirichlet.. e concludere subito.
Elegantemente: siano i numeri primi nella forma 4n+3 finiti(si verifica facilmente che non può essere un'insieme vuoto..considerando il 3 o il 7 per esempio):
sia $ \prod p_k = P $ il prodotto dei numeri primi $ \equiv 3 mod 4 $ .
se $ P \equiv 1 (mod 4) $ allora $ P+2 \equiv 3 (mod 4) $ e $ P+2 \equiv 2(mod p_k) $ qualsiasi k. Si verifica facilmente (se contenesse solo 1 o 2 il risultato sarebbe 1 o 2 o 0) che la scomposizione di P+2 deve contenere un numero primo $ \equiv 3 (mod 4) $ che è assurdo per quanto appena detto.
se $ P \equiv 3 (mod 4) $; $ P+4 \equiv 1;4 (mod p_k) $ qualsiasi k. Analogamente a prima la scomposizione di P+4 è assurda. Da cui la tesi.

Il secondo: si verifica facilmente che se dispongo orizzontalmente i blocchi devo disporli senza sfasature (che non sarebbero "recuperabili") a blocchi di 3. quindi il problema diviene: Numero disposizioni di blocchi 3*3 e di 3*1 Verticali.
Se non uso 3*3 devo usare 10 3*1. le permutazioni (con ripetizione) possibili sono: 10!/10! analogamente trovo il risultato se uso uno;due;tre 3*3. le pavimentazioni totali risultano:
4!/3!+6!/(2*4!)+8!/7!+10!/10! = 28.
La generalizzazione (non in forma polinomiale purtroppo) è analoga e si ottiene facilmente dalla formula per le permutazioni con ripetizione e calcolando il numero di blocchi presenti. Ovvero: $ \frac{n!}{n!}+\frac{(n-2)!}{(n-3)!1!}+\frac{(n-4)!}{(n-6)!2!}+\frac{(n-6)!}{(n-9)!3!}+...+\frac{([n/3]+k)!}{[n/3]!k!} $ ove $ n \equiv k (mod 3) $e $ 3 > k \ge 0 $ .


Rilancio la successione di Ma_go: quanto vale a_3 e (bonus question) determinare un'insieme di 4 elementi in cui debba essere compreso a_2(se ci riuscite determinatelo..io non ci sono riuscito ma ho trovato proprio un bell'insiemino).

Buona Serata.

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 23 ago 2005, 23:21

enomis_costa88 ha scritto:Visto che tutti parlano di problemi e nessuno di soluzioni...
Forse nessuno li risolve perché non è questa la sezione più adatta del forum in cui risolvere, appunto, problemi...
enomis_costa ha scritto:Rilancio la successione di Ma_go: quanto vale a_3 e (bonus question) determinare un'insieme di 4 elementi in cui debba essere compreso a_2 (se ci riuscite determinatelo... io non ci sono riuscito ma ho trovato proprio un bell'insiemino).
In quanto al tuo rilancio, ecco... forse ti farà piacere dare un'occhiatina qui.

Avatar utente
enomis_costa88
Messaggi: 537
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brescia

Messaggio da enomis_costa88 » 24 ago 2005, 08:52

EDIT: ho combinato un bel casino..pensavo di creare un nuovo messaggio e invece ho modificato (piallato, cancellato) questo.riscrivo tutto con un briciolo di ordine:

1) osservavo un'imprecisione nel mio esercizio precedente. Non avevo escluso il valore 0 dalla successione(ma è banale osservare che essa assume 0 solo se a_0=0).

2)ho detto le seguenti parole "Mi pare perlomeno carino scrivere soluzioni a esercizi postati (e poi le soluzioni mi mi pare facciano comodo a tutti: a chi le scrive per essere corretto ed è importante e a chi le legge anche di più-e i problemi sono stati postati quì) ..posso sperare di non essere linciato se scrivo quella del problema di Talpuz? Dopo prometto che non lo faccio più.."

3) postavo una "traccia" poco rigorosa di soluzione dell'esercizio di Talpuz

"Dimostro"(poco formalmente) che la strategia migliore è quella di cambiare sempre.
Se non cambio sempre ci sarà almeno un'intervallo A lungo k fermate in cui stò sullo stesso treno con k>1.
sia p(i) la probabiltà di incontratre il controlore nell'intervallo A stando sullo stesso treno. Sia p(i_2) la probabilità di incontrarlo nell'intervallo A cambiando treno.
p(i)=k/n; con il principio di Inlusione-esclusione calcolo p(i_2). Inoltre per una proprietà del principio stesso: A_1 U A_2 U...U A_n \leq \sum_{k=0}^{n} A_k (proprietà facilmente verificabile pensando all significato combinatorio).
L'uguaglianza è accettabile solo se non ci sono intersezioni tra i vari insiemi ovvero nel caso specifico se la prob di incontrare il controllore in uno dei k "intervallini" e di incontrarlo poi in un'altro è nulla, che è palesemente falso.
La disuguagliaza di prime si riscrive (applicata al caso specifico) come p(i)>p(i_2) e quindi calcolando (con il principio di inclusione - esclusione su tutti glii m intervalloni di lunghezza anche 1) la probabilità richiesta nei 2 casi la struttura "esterna" risulta la stessa ovvero: P(1) U P(2)... U P(m) ma cambia
la probabilità dei singoli intervalli (ovvero ciò che ci sostituisco dentro) che è minore se cambio sempre treno e quindi (intuitivamente) lo sarà anche il risultato richiesto.

4) mi sono scusato con tutti per avere abusato di questa sezione del forum.
Ultima modifica di enomis_costa88 il 24 ago 2005, 19:51, modificato 3 volte in totale.

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 24 ago 2005, 09:06

enomis_costa88 ha scritto:Mi pare perlomeno carino scrivere soluzioni a esercizi postati (e poi le soluzioni mi mi pare facciano comodo a tutti: a chi le scrive per essere corretto ed è importante e a chi le legge anche di più-e i problemi sono stati postati quì) ..posso sperare di non essere linciato se scrivo quella del problema di Talpuz? Dopo prometto che non lo faccio più..
Intendevo *ovviamente* dire che si potrebbe piuttosto quotare i problemi e risolverli da qualche altra parte, magari linkando i thread in cui vengono proposti a quelli in cui vengono invece risolti, e viceversa. Poi ognuno faccia come vuole, sono i mods a definire le regole del gioco. Per quel che mi attiene, mi limitavo a esprimere un semplice punto di vista! E' ancora permesso, vero? :roll:

Rispondi