Problemino dagli orali Sns

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Matman
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Problemino dagli orali Sns

Messaggio da Matman » 22 apr 2020, 20:44

risolvere (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2 negli interi positivi. qualche hint?
EDIT: ovviamente il problema è uno dei piu semplici dell'orale e ho appena trovato una soluzione, e ho il presentimento sia l'unica. Comunque lascio il topic perchè malgrado il problema sia facile pone spunti semplici, ma interessanti.

Temoi
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Re: Problemino dagli orali Sns

Messaggio da Temoi » 06 mag 2020, 17:30

Ciao, potresti gentilmente mandare come lo hai risolto? Ho provato a farlo nel pomeriggio, finora ho fatto vedere che nel caso a=b=c non ci sono soluzioni così come se a<b=c. Ho invece trovato come soluzioni (a,b,c)=(3,3,8) nel caso a=b<c (considerando ovviamente tutte le permutazioni) (in tutti i casi ho ragionato dicendo che un numero e il suo successivo sono coprimi e finchè ho due incognite supponendone due uguali riesco a ricondurmi a un sistema a due equazioni e quindi a trovarne le soluzioni). Adesso stavo provando il caso a<b<c che è l'ultimo che mi manca e ho diverse idee ma non so come venirne a capo. Tento ancora un po' nel pomeriggio e in caso ti aggiorno.

EDIT: sono riuscito a risolverlo, ho allegato la soluzione nel messaggio successivo
Ultima modifica di Temoi il 08 mag 2020, 16:15, modificato 1 volta in totale.

Temoi
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Re: Problemino dagli orali Sns

Messaggio da Temoi » 08 mag 2020, 16:14

Dopo che avevo deciso di lasciar perdere, ieri sera, mentre ero a letto, mi è venuto in mente come generalizzare il ragionamento e quindi risolvere il problema. A posteriori in effetti era piuttosto semplice ma dirlo dopo è facile. Posto qui la soluzioni nel caso tu lo avessi affrontato in maniera diversa. La mia mi sembra un po' meccanica ma sinceramente non ho trovato altri modi per risolverlo.

Poichè l'equazione è simmetrica rispetto a tutte e tre le incognite, posso supporrre, senza perdita di generalità, a[math]b[math]c. Da qui segue [math][math][math][math][math], che si ottiene risolvendo [math][math][math] da cui a[math]b. Osservo inoltre che nessuna incognita può essere uguale a 1. Se fosse infatti a=1 otterei [math]*[math]=1 che è impossibile poichè è un prodotto di due numeri strettamente maggiori di 1. Ho quindi 1<a[math]b[math]c.
Si ha però 2=[math]*[math]*[math][math][math] (so che si vede un simbolo math ma non so come toglierlo senza togliere anche il latex quindi fate finta che non ci sia).
Ottengo in particolare 2[math][math] (idem sopra). Risolvendo ottengo a[math][math][math]3,8 da cui devo avere a=2 o a=3 (essendo a strettamente maggiore di 1) (idem prima, credo sia quando etto uno dentro l'altro ma non so come fare in alternativa).
Risolvo il caso a=2, Sostituendo 2 al poso di a e mandadno avanti i calcoli si ottiene[math]*[math]=[math]. Analogamente a prims posso scrivere [math][math][math] da cui si ottiene b[math]6,4 (in realta viene qualcosa con radice di 3 ma perdo troppo tempo a usare ogni volta il latex. Da qui con a=2, ne segue che devo avere b=2, b=3, b=4, b=5 o b=6. Sostituisco uno alla volta e ricavo c (la soluzione è accettabile quando c è intero positivo e maggiore o uguale agli altri due. Ottengo quindi come soluzioni (a,b,c) uguale a (2,4,15), (2,5,9), (2,6,7).
In maniera analoga, risolvo il caso a=3. Con lo stesso ragionamento di prima ottengo b[math]4,5 da cui b=4 o b=3. Ottengo soluzioni per entrambi i valori e rispettivamente (3,3,8) e (3,4,5).
Ricapitolando, e ricordando che l'equazioni è simmetrica rispetto ad a,b,c ottengo che le terne che risolvono l'equazione sono (3,3,8), (2,4,15), (2,5,9), (2,6,7) e (3,4,5) con tutte le loro permutazioni.

Matman
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Re: Problemino dagli orali Sns

Messaggio da Matman » 09 mag 2020, 10:03

Io ho fatto piu o meno cosi lavorando sul wlog e poi distinguendo i casi piu o meno come te, solo che dopo (3,4,5) mi sono trovato le altre ma ne ho persa una

Temoi
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Re: Problemino dagli orali Sns

Messaggio da Temoi » 09 mag 2020, 12:26

Sì, a me questo è l'unico modo che è venuto in mente per risolverlo e, nonostante sia abbastanza meccanico, mi sembra fili piuttosto bene. Inizialmente, come avevo scritto nel mesaggio sopra, ero andato troppo per casi particolari (avevo ad esempio trovato la soluzione (3,4,5) supponendo a, b e c consecutivi) ma non riuscivo a generalizzare e quindi mi perdevo, ovviamente, tutte le altre. Così invece, dovrei averle prese tutte senza avventurarmi nei numeri coprimi ecc... come avevo fatto inizialmente che complica solamente tutto il ragionamento.

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