esercizi dalla prova di ammissione della scuola eccellenza della sapienza

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
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vagnani
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Iscritto il: 05 gen 2020, 18:01

esercizi dalla prova di ammissione della scuola eccellenza della sapienza

Messaggio da vagnani »

salve, come dice gia il titolo vorrei vedere 3 esercizi. sono semplici ma non trovando le soluzioni da alcuna parte non so se ho fatto bene.

A) Ogni funzione continua f : [0,1] → R verifica le seguenti proprietà:
(stabilire la veridicità/falsità delle seguenti affermazioni.)
(1) Esiste 0 ≤ t ≤ 1 tale che int. def. da 0 a t di f(x)dx= int. def. da t a 1 di f(x)dx
(2) La funzione f ammette almeno un punto di minimo.
(3) Esiste 0 < t < 1 tale che f(t) = 1/2.
(4) Esiste 0 < t < 1 tale che f(t) = (f(0)+f(1))/2.

B) Per tutte le coppie di numeri reali a e b con 0 < a < b si ha:
(stabilire la veridicità/falsità delle seguenti affermazioni.)
(1) a/b < (a+1)/(b+1).
(2) Esiste un numero naturale n ≥ 1 tale che (n + 1)a > nb.
(3) 1/a < 1/b.
(4) Esiste un numero naturale n ≥ 1 tale che (a/b)^n< 1/2.

C) Scrivere la negazione logica di ciascuna delle seguenti proposizioni
(senza ovviamente entrare nel merito del loro contenuto).
L1. Se un giovedì piove, allora il venerdì successivo non c’è neanche una
nuvola.
L2. Tutti i ragazzi con i capelli biondi e gli occhi verdi sono alti e non simpatici.


grazie in anticipo
vagnani
Messaggi: 4
Iscritto il: 05 gen 2020, 18:01

Re: esercizi dalla prova di ammissione della scuola eccellenza della sapienza

Messaggio da vagnani »

qualcuno aiuta?
Luka13
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Iscritto il: 03 mar 2020, 14:30

Re: esercizi dalla prova di ammissione della scuola eccellenza della sapienza

Messaggio da Luka13 »

Buongiorno,
Provo ad aiutarti per quello che posso.
A1) A logica mi viene da dire vero, però non so ancora come dimostrarlo
A2) per il teorema di Weierstrass se una funzione è continua in un intervallo allora in quell'intervallo presenta almeno un punto di minimo assoluto e uno di massimo assoluto
A3) No, non saprei come dimostrarlo rigorosamente però se prendo una retta y=x+10 (continua in [0,1]) non esiste alcun t compreso tra 0 e 1 che verifica questa proprietà poiché il valore minimo di y tra 0 e 1 sarà 10.
A4)Anche qui non posso aiutarti con una dimostrazione super rigorosa. Però dato che la funziona è continua nell'intervallo [0,1] significa che il codominio di f(x) conterrà tutti i valori di y compresi tra f(0) e f(1) e quindi conterrà anche la metà della somma delle ordinate della funzione in 0 e 1.

B1) rimaneggiando un po' ottieni:
ab + a < ba + b
Essendo che i due prodotti sono uguali per la proprietà commutativa della moltiplicazione allora può riscriverla come:
a < b
Che è sempre vera per ipotesi.
B2) anche qui mi viene da dire sì ma al momento non so ancora come dimostrarlo
B3) falso, infatti se inverti le due frazioni (e quindi devi cambiare anche il verso della disuguaglianza) ottieni:
a>b
Che è sempre falsa per ipotesi
B4) vero, infatti essendo a < b, a/b è una frazione sempre minore di 1, quindi moltiplicando un numero minore di 1 per se stesso abbastanza volte puoi farlo diminuire fino a 1/2 e oltre, se fai tendere n a infinito ottieni addirittura 0

Non sono per niente bravo in logica quindi lascio che ti risponda qualcun'altro per quella parte😉
franpon
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Iscritto il: 17 ago 2021, 12:25

Re: esercizi dalla prova di ammissione della scuola eccellenza della sapienza

Messaggio da franpon »

Scusate se rispondo pur non dando una effettiva risposta alla domanda posta. Mi chiedevo invece se per prova di ammissione si intendesse un problema posto durante la prova orale alla sapienza ? Visto che a quanto ne so come scritto c'è solo il TOLC-I. Grazie
Trezeguet
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Iscritto il: 24 ago 2021, 12:00

Re: esercizi dalla prova di ammissione della scuola eccellenza della sapienza

Messaggio da Trezeguet »

C1)giovedì piove e il venerdì successivo c'è almeno una nuvola
C2) esiste almeno un ragazzo biondo e con occhi verdi basso o simpatico
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