2. Limite geometrico

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Leonhard Euler
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2. Limite geometrico

Messaggio da Leonhard Euler » 26 dic 2018, 09:45

Trovare una dimostrazione geometrica, dunque non analitica o che faccia uso di limiti già ben noti, del seguente limite:

$$\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos x}}x$$
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

nicarepo
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Re: 2. Limite geometrico

Messaggio da nicarepo » 26 dic 2018, 16:03

Forse si può interpretare così: $ \sqrt{sin^2x + (1-cosx)^2} $ sarebbe la corda relativa all'arco $ x $ nella circonferenza unitaria del piano cartesiano. Sviluppando il quadrato si ottiene $ \sqrt{2-2cosx} $. Se l'angolo diventa infinitesimo, l'arco e la corda possono considerarsi della stessa lunghezza, quindi il loro rapporto al limite vale $ 1 $. Dividendo per $ \sqrt 2 $ si ha il limite notevole.

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Leonhard Euler
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Re: 2. Limite geometrico

Messaggio da Leonhard Euler » 26 dic 2018, 16:28

Buona dimostrazione, è tuo adesso l'onore di porre un problema di livello più avanzato.
Per completezza posto la mia soluzione:
Sia $ ω $ una circonferenza di raggio unitario e centro [math], si fissino due punti sulla circonferenza [math] e [math] e sia [math] l'angolo convesso formato dalle rette $ OA $ e [math]. L'arco su cui l'angolo $ x $ insiste misura per l'appunto $ x $, mentre si pone la lunghezza della corda $ AB $ uguale ad una certa quantità $ y $
Dalla disuguaglianza fra corda e arco all'interno di una stessa circonferenza:
$ x≥y $, con l'uguaglianza nel caso in cui ambedue risultino quantità nulle.
Per questa ragione vi sarà un'uguaglianza fra i seguenti limiti:
$ \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos x}}x=\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos x}}y $
Applicando adesso il Teorema del coseno sul triangolo $ AOB $ sul lato $ AB $:
$ y^2=1^2+1^2-2\cos x $
Da cui si estrapola facilmente:
$ \frac{\sqrt{1-\cos x}}y=\sqrt{2}/2 $
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