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Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadrato perfetto.

Considero la progressione $a_1=n-3d; a_2=n-d; a_3=n+d; a_4=n+3d$. Ovviamente $n=x+\dfrac{1}{2}, d=\dfrac{1}{2}$ con $x$ intero. Svolgendo il prodotto otteniamo $n^4-\dfrac{5}{2}n^2+\dfrac{9}{16}$ cioè $\dfrac{x^4}{16}-\dfrac{5}{8}x^2+\dfrac{9}{16}$ e voglio che sia uguale a $k^2$.
Aggiungo $1$ a questo punto; ottengo $x^4-10x^2+25=16k^2$ e cioè $(x^2-5)^2=16k^2$, vero.
Non esistono quadrati positivi che differiscano di $1$, quindi il primo prodotto non sarà un quadrato.

Oppure
\begin{equation}
(n-1)n(n+1)(n+2) +1 = (n^2 + n - 2)(n^2 + n) + 1 = (n^2 + n - 1)^2
\end{equation}

Si, va be, ho scritto troppo. In effetti nella mia ci sono dei mezzi che se ne vanno e dovrebbe (non ho controllato) venire simile alla tua