SNS mate 2014/2015

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 31 lug 2015, 17:45

Sono arrivato a $ a^{7} + b^{7} = 7 (a + b) $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $

AlexThirty
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da AlexThirty » 31 lug 2015, 17:54

Ma si può dare per scontato LTE agli esami di ammissione SNS?
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 31 lug 2015, 18:20

Allora $ a^{7} + b^{7} = 7 (a + b) $
Quindi la si può riscrivere come
$ a (a^{6} - 7) + b (b^{6} - 7) =0 $
Sì sa che $ a, b \geq 1 $
Quindi i termini che figurano nella uguaglianza a zero sono tutti positivi e ne deduco che $ a, b =0 $
Sostituendo nella traccia del problema si ottiene
$ 0 = 7^{c} $ assurdo
Quindi non ci sono soluzioni
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
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Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 31 lug 2015, 18:21

AlexThirty ha scritto:Ma si può dare per scontato LTE agli esami di ammissione SNS?
Cos'è LTE
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
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wall98
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da wall98 » 31 lug 2015, 20:18

LTE è, sostanzialmente, un insieme di risultati utili per risolvere le equazioni diofantee (cioè a soluzioni intere) nelle quali gli esponenti sono la parte difficile da trattare.
Notazione: Sia $v_p(m)$ l'esponente della massima potenza di $p$ che divide $m$, quindi $\displaystyle p^{v_p(m)}$ divide $m$ e $\displaystyle p^{v_p(m)+1}$ non divide $m$.

Per esempio, in questo problema $LTE$ si può usare così:
Testo nascosto:
Si potrebbe sfruttare $v_p(a^p+b^p)=v_p(a+b)+1$(LTE) con $p=7$, che ci porta a dire, visto che $a+b$ è potenza di sette, che $a^7+b^7=7(a+b)$. E si conclude con delle disuguaglianze, cioè $a^7>7a, \ b^7>7b \Longrightarrow\ a^7+b^7>7a+7b$.
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 31 lug 2015, 22:54

Grazie wall98 ;)
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AlexThirty
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da AlexThirty » 01 ago 2015, 11:05

Euler tu invece come hai fatto a dedurre che l
$ a^{7}+b^{7}=7(a+b) $

Il fatto che $ a+b $ debba essere una potenza di 7 l'ho capito ma non mi è chiaro come sei arrivato al fatto che l'esponente di 7 salga solo di uno in
$ \frac{a^{7}+b^{7}}{a+b} $ senza usare LTE
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 01 ago 2015, 12:37

Ho posto $ a + b = 7^{n} $
Da cui $ a^{7} = ( 7^{n} - b )^{7} $
Sostituendo nella traccia e sviluppata la potenza del binomio ottieni che
$ a^{7} + b^{7} = 7^{7 n} + . . . + 7^{n + 1} b^{6} $
Si vede quindi che la max potenza di 7 che divide $ a^{7} + b^{7} $ è $ 7^{n + 1} $
Essa quindi deve essere anche la max potenza che divide $ 7^{c} $ perché $ a^{7} + b^{7} = 7^{c} $
Da qui ricavo che $ c = n + 1 $
(Se fosse minore non sarebbe divisibile e se fosse maggiore non sarebbe la potenza massima) e quindi trovo che $ a^{7} + b^{7} = 7^{n + 1} = 7 (a + b) $
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da AlexThirty » 01 ago 2015, 14:27

Ok perfetto! Ho capito.
Quella che hai scritto è quasi una mini dimostrazione di LTE con $ p=7 $, se hai voglia di imparare LTE guardati il Senior 2014 N2, dove è spiegato molto bene
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 02 ago 2015, 19:33

AlexThirty ha scritto:Ok perfetto! Ho capito.
Quella che hai scritto è quasi una mini dimostrazione di LTE con $ p=7 $, se hai voglia di imparare LTE guardati il Senior 2014 N2, dove è spiegato molto bene
cos'è il senior?
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Peppe97 » 08 ago 2015, 15:41

Euler271 ha scritto:Si vede quindi che la max potenza di 7 che divide $ a^{7} + b^{7} $ è $ 7^{n + 1} $
Ciao Euler, mi spieghi come mai $ 7^{n+1} $ sia la massima potenza di 7 che divide $ a^{7} + b^{7} $?

AlexThirty
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da AlexThirty » 08 ago 2015, 16:55

Si sa che, siccome sicuramente $ a+b|a^7+b^7 $, allora $ a+b $ deve essere una potenza di $ 7 $, quindi scriviamo $ a+b=7^n $.
Riscrivi quindi come $ a=7^n-b $ e provi a calcolare $ a^7+b^7 $ sostituendo quello che hai appena trovato.
Hai cosi
$ (7^n-b)^7+b^7 $ ed espandi la prima parentesi usando il binomio di Newton $ \sum_{i=0}^{7}{\binom{7}{i} (7^n)^i (-b)^{7-i}} $, da cui estrapoliamo il termine $ b^7 $ siccome si semplifica.
Diventa così
$ (7^n-b)^7+b^7=\sum_{i=1}^{7}{\binom{7}{i} (7^n)^i (-b)^{7-i}}-b^7+b^7 $.
Ma in$ \sum_{i=1}^{7}{\binom{7}{i} (7^n)^i (-b)^{7-i}} $ si vede che sono tutti termini divisibili per $ 7 $, quindi la massima potenza di $ 7 $ che divide la somma è quella minima tra i vari termini della somma (infatti raggruppando per essa si avranno vari termini multipli di 7 e quello più piccolo che non lo è, il che ci garantisce che quella sarà effettivamenrte la massima potenza).
Si vede chiaramente che il termine della somma con la minima potenza di 7 è quello con $ i=1 $, cioè $ \binom{7}{1} 7^n (-b)^6 $ (infatti gli altri avranno $ 2n $, ecc), in cui il sette compare anche una volta nel binomiale. Quindi l'esponente di 7 nella fattorizzazione di $ a^7+b^7 $ è $ n+1 $.
Un bresciano esportato nel cremonese

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Talete
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Talete » 08 ago 2015, 19:45

@Euler271: il senior è uno stage che si svolge annualmente a settembre a Pisa, in questo caso però credo Alex intendesse "i video del senior 2014 N2 medium (cioè la seconda lezione di teoria dei numeri del corso medium)" che si trovano qui in basso, sono gli ultimi tre video: http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... m%2FVideo". ;)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 08 ago 2015, 23:46

Grazie talete :D
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