SNS mate 2014/2015

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
Raspy
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Raspy » 08 set 2014, 21:48

Secondo me bisognava incentrarsi sul fatto che $ 2015=2*1007+1 $ , e che quindi $ f(2015)=f(2*1007+1) $. Poi però non sapevo come andare avanti. Non so se esiste qualche risultato sui polinomi che ti risolveva la situazioe

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gpzes
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da gpzes » 08 set 2014, 22:36

@Loara... :oops: :oops: ..per onestà intellettuale devo dire che avevo fatto errore concettuale grosso..come sempre :oops: :oops:
forse anche adesso sbaglio...
$f(2015)=2^{2014}$
$p(x)=\sum\limits_{k=0}^{1007}\binom{x}{k}$

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Loara
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Loara » 09 set 2014, 09:35

gpzes ha scritto: $f(2015)=2^{2014}$
${\displaystyle p(x)=\sum^{1007}_{k=0}\binom{x}{k}}$
Ecco, il risultato ora è esatto. Ovviamente è semplice generalizzare tale risultato per qualunque polinomio di grado $n$ tale che $f(k)=2^k$ per ogni $k=0, 1, \cdots , n$.
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\ =221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\ 210=2*3*5*7 $

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Tess
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Tess » 09 set 2014, 09:42

Ho visto che il problema 2 ha dato del filo da torcere a molti. Volevo quindi abbozzare la mia soluzione.
1) si vede facilmente che un triangolo di area 2 si trova;
2) uno si convince dopo un po' che questa è l'area minima, allora, dato che il quadrato da dolo occupa area 1, se mostriamo che il resto del triangolo ha almeno area 1, abbiamo vinto;
3) visto che ancora una volta stiamo confrontanfo un'area con quella unitaria del quadrato, perché non "pieghiamo" il triangolo lungo i lati del quadrato e mostriamo che i ripiegamenti occupano tutto il quadrato? La cosa assurda è che questo metodo funziona...
4) più formalmente quello che uno dovrà dimostrare è che dato un qualsiasi punto interno al quadrato, esiste una riflessione rispetto uno dei lati che lo mantiene dentro il triangolo.

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Loara
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Loara » 09 set 2014, 09:56

Tess ha scritto: ...
3) visto che ancora una volta stiamo confrontanfo un'area con quella unitaria del quadrato, perché non "pieghiamo" il triangolo lungo i lati del quadrato e mostriamo che i ripiegamenti occupano tutto il quadrato? La cosa assurda è che questo metodo funziona...
Questo metodo funziona sì, ma funziona se dimostriamo prima che il quadrato ha un lato che giace interamente su un lato del triangolo, altrimenti tale "piegamento" non è sempre possibile :!:.
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\ =221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\ 210=2*3*5*7 $

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gpzes
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da gpzes » 10 set 2014, 09:58

Loara ha scritto:
gpzes ha scritto: $f(2015)=2^{2014}$
${\displaystyle p(x)=\sum^{1007}_{k=0}\binom{x}{k}}$
Ecco, il risultato ora è esatto. Ovviamente è semplice generalizzare tale risultato per qualunque polinomio di grado $n$ tale che $f(k)=2^k$ per ogni $k=0, 1, \cdots , n$.
:oops: :oops: :oops: ..meno male :wink:

Peppe97
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Peppe97 » 01 mar 2015, 20:36

Salve ragazzi, cercavo di ragionare sul problema che dice di tovare f(2015) ma non capisco proprio come venga 2^2014. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmelo, grazie! :D

Andrea59
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Andrea59 » 09 mar 2015, 23:34

Salve Peppe97,
io il problema 5 l'ho dimostrato così:
1) dimostro che il polinomio $ f_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}\binom{x}{i} $ vale $ 2^{h} $ per x=k k=0..n. Io l'ho dimostrato per induzione. Per x reale il coefficiente binomiale $ \binom{x}{i} $ è definito come $ \frac{\left ( x \right )_i}{i!} $.
2) dimostro ora che $ f_{n}(2n+1)=2^{2n} $, ancora per induzione.
$ f_{n+1}(2(n+1)+1)=\sum_{i=0}^{n+1}\binom{2n+3}{i}=\sum_{i=0}^{n+1}\binom{2n+1}{i}+2\sum_{i=1}^{n+1}\binom{2n+1}{i-1}+\sum_{i=2}^{n+1}\binom{2n+1}{i-2}= $
$ =2^{2n}+\binom{2n+1}{n+1}+2\cdot 2^{2n}+2^{2n}-\binom{2n+1}{n}= $
$ =2^{2(n+1)} $
3) ponendo n=1007 si trova $ f_{1007}(2015)=2^{2014} $

Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 29 lug 2015, 18:02

Mi spiegate come andava fatto il primo please?
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $

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Nemo
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Nemo » 30 lug 2015, 17:13

Euler271, un suggerimento: quanto deve valere \(a+b\)?
[math]

wall98
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da wall98 » 30 lug 2015, 18:19

Hint pesante (alternativo)
Testo nascosto:
Un modo figo di farlo consiste nel riscrivere come $\displaystyle \frac{a^7+b^7}{a+b} \cdot (a+b)=7^c$, e poi notare delle cose...
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 31 lug 2015, 11:15

Nemo a+b deve essere una potenza di 7
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
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Nemo
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Nemo » 31 lug 2015, 13:14

Euler271,
certo, ma quale esattamente?
Prova a ragionare in questo modo: supponendo che \(7 \nmid a,b\) (gli altri casi li riconduci a questo) e sapendo che \(a+b=7^n\), scrivi \(a^7+b^7\) in un altro modo e vedi qual è la massima potenza di \(7\) che lo divide :wink:
[math]

Euler271
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Euler271 » 31 lug 2015, 15:45

Allora $ a^{7} + b^{7} $ è divisibile per $ 7^{n +1} $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
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Re: SNS mate 2014/2015

Messaggio da Nemo » 31 lug 2015, 16:40

Bene! Ora va' avanti a scrivere! :) E ricorda che \(n\) e \(c\) non ti piacciono! :wink:
[math]

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