Matematica sns 2012-2013

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
frod93
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Matematica sns 2012-2013

Messaggio da frod93 » 23 ago 2012, 16:30

In diretta da pisa i Problemi di matematica di quest'anno (molto più facili della media a parte un paio)
Scusate se non uso il latex ma sono con l'ipod e impazzirei :D

1)
Trovare le triplette x, y, z tali che la quarta potenza di ogni variabile è pari alla somma delle altre due

2)
Nel tennis un set è composto da game. In ogni game batte solo un giocatore. Si vince un game totalizzando almeno 4 punti e avendo almeno due punti di distacco dall'avversario. Se un giocatore che è in battuta ha probabilità 0<=p<=1 di fare punto, qual è la probabilità che vinca il game?

3)
S_n è il numero di possibili successioni crescenti di numeri interi alternati pari e dispari da 0 a n. Esempio n=3 le successioni sono 0,1,2,3 e 0,3, quindi S_3=2. Dimostrare he S_n è l'n-esimo numero di Fibonacci.

4)
f(x,y) è una funzione che associa a x e y interi un numero reale. Se x è costante si ottiene un polinomio in y e se y è costante si ottiene un polinomio in x.
Dimostrare che f(x,y) è un polinomio e che se uno di quei polinomi è di grado 2 allora f ha come esponente di x o y al massimo 2
Generalizzare con grado N.
Senza la seconda ipotesi si poteva dedurre che f è un polinomio?
Dati a b c d interi sia f(ak+b,ck+d) un polinomio in k di grado al massimo N per ogni a b c d, cosa si può dedurre su f(x,y)?

5)
Abcd è un quadrilatero convesso tale che ogni diagonale lo divide in due triangoli con la stessa area tra loro. Dimostrare che è un parallelogramma.

6)
Quanti dadi è possibil realizzare con un ottaedro regolare tale che i due numeri (1..8 ) di due facce opposte sbbiano somma 9? Due dadi sono uguali se si ottiene li stesso dado con delle rotazioni
$Q.E.D.$

frod93
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da frod93 » 24 ago 2012, 20:55

Prova di Fisica: il crollo di ogni speranza...
$Q.E.D.$

Omar93
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da Omar93 » 24 ago 2012, 23:35

Come è andata?
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da frod93 » 24 ago 2012, 23:37

penso che nessuno abbia risolto meno di tre/quattro esercizi di matematica e più di uno/due di fisica :|
$Q.E.D.$

Omar93
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da Omar93 » 24 ago 2012, 23:38

Pure i chimici?
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da frod93 » 25 ago 2012, 00:09

da quello che so chimica e biologia non erano così ardue (a livello olimpionico nazionale), ma cedo la parola a loro perché riferisco solo i discorsi di un paio di persone
$Q.E.D.$

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petroliopg
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da petroliopg » 25 ago 2012, 09:13

chimica era facile quest'anno. 5 esercizi:
Testo nascosto:
1) strutture di vari composti indicando anche quali avevano momento dipolare non nullo
2) bilanciamenti
3) tre reazioni acido base tra acido forte base forte, acido forte base debole, acido forte acqua
4) dissertazione sugli stati di aggregazione
5) un equilibrio ($\displaystyle 2NO_2 \leftrightarrow N_2O_4$) di cui calcolare
K equilibrio a 25°; pressioni parziali di mezza mole di $\ 2NO_2$ posta in un contenitore a pressione costante 1 bar; pressioni parziali nel caso fosse costante il volume; K equilibrio a 65° e ti davano entalpie di formazione ed entropie di formazione di reagenti e prodotti.
io sono stato stupido e l'ho preso troppo superficialmente, sicché non mi sono rivisto le formule i giorni prima, per cui ne ho fatti 3 bene e 2 a metà, ma credo che se uno avesse fatto anche il livello regionale delle olichim questo compito lo fa da 100 senza troppe difficoltà.
per quanto riguarda la prova integrata:
Testo nascosto:
1) $\displaystyle x^4-ax^2+1$ definire per quali valori di a il polinomio è scomponibile in due di grado inferiore a coefficienti interi.
2) quello del quadrilatero uguale a quello di matematica/fisica già scritto
3) probabilità: in un urna ci sono k palle nere e 1 palla bianca ($\ k \ge 1$). Paolo e francesca si alternano a tirare fuori una palla dall'urna. Le palle pescate non vengono rimesse nell'urna. Vince chi pesca la palla bianca. Paolo lascia per cavalleria il primo turno a francesca. C'è davvero vantaggio ad iniziare per primi? Calcola la possibilità complessiva di vincere iniziando per primi.
4) Un corridoio è formato da nastri trasportanti alternati a pavimenti. Tu puoi correre o camminare, ma non puoi correre per tutto il percorso. conviene più correre sul pavimento o sui nastri trasportanti? quanto tempo si può risparmiare?
5) $\ C_s = 1000 W s^{-1} m^{-2}$ è l'energia media che il sole irradia sotto forma di onde elettromagnetiche per unita di area e tempo sulla superficie dell'atmosfera. La fotosintesi è il processo con cui si genera materia organica tramite trasformazione delle radiazioni: tale processo ha rendimento dell' 1%. Il potere calorifico del legno è dell'ordine di $\ P_c = 10^7 J Kg^{-1}$. Quanto tempo è necessario perché si generi un albero alto 10 metri?
6) Hai una palla da bigliardo ed una stecca. La palla è sferica di raggio a ed ha massa m. L'impulso del colpo è P. A quale altezza $\ h=h_0$ bisogna colpire la palla, con un colpo parallelo al piano (senza effetto cioè), affinché ci sia moto di puro rotolamento (senza strisciamento)? Qual è l'accelerazione del centro di massa durante il moto con strisciamento quando colpisci la palla (sempre senza effetto) in $\ h<h_0$ e $\ h>h_0$ (sapendo che il coefficiente d'attrito tra la palla è il piano è $\ \mu$)? Dopo quanto tempo inizia il moto di puro rotolamento? Calcola la velocità finale del moto di puro rotolamento.
Sinceramente i primi due esercizi si fanno in 5 minuti contati (considerando il tempo di scrivere). Quindi due esercizi considerali fatti da tutti. Poi credo che quelli di fisica se uno ha ripassato erano fattibili. Il problema dell'albero è simile ad uno di fisica per fisica passato (quello dell'astronave con la vela solare): è impostato sul ragionamento, ed è pure simpatico.
Io credo di non essere passato, ma la facilità complessiva della prova mi fa pensare che ce ne siano non pochi ammessi all'orale.
Sensi non ho; né senso. Non ho limite.
Montale

$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $

xXStephXx
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da xXStephXx » 25 ago 2012, 11:46

Stavo provando a farne qualcuno per sfizio.. ma in quello del tennis mi viene un risultato stranissimo...
E' possibile una cosa del tipo: $\displaystyle \frac{20p^5(1-p)^3}{1-2p(1-p)}+p^4+4p^4(1-p)+10p^4(1-p)^2$ ?
Ho ricontrollato più volte e non trovo l'errore xD Eppure ponendo cose come $p=\frac{1}{2}$, $p=1$ o $p=0$ non noto anomalie :D

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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da t4ilgr4b » 25 ago 2012, 12:47

frod93 ha scritto: 5)
Abcd è un quadrilatero convesso tale che ogni diagonale lo divide in due triangoli con la stessa area tra loro. Dimostrare che è un parallelogramma.
In un problema così, al test, si può concludere dicendo che (per esempio) le diagonali si bisecano scambievolmente e quindi è un parallelogramma (è un criterio sufficiente no?) oppure bisogna anche dimostrare il passaggio fra "le diagonali si bisecano scambievolmente" e "quindi è un parallelogramma"?
In poche parole, in generale, che cosa si può dare per scontato?


P.S.: Auguro a tutti di aver passato gli scritti! :D

Robertopphneimer
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da Robertopphneimer » 25 ago 2012, 13:26

t4ilgr4b ha scritto:
frod93 ha scritto: 5)
Abcd è un quadrilatero convesso tale che ogni diagonale lo divide in due triangoli con la stessa area tra loro. Dimostrare che è un parallelogramma.
In un problema così, al test, si può concludere dicendo che (per esempio) le diagonali si bisecano scambievolmente e quindi è un parallelogramma (è un criterio sufficiente no?) oppure bisogna anche dimostrare il passaggio fra "le diagonali si bisecano scambievolmente" e "quindi è un parallelogramma"?
In poche parole, in generale, che cosa si può dare per scontato?


P.S.: Auguro a tutti di aver passato gli scritti! :D
Ciao(sei martino giusto?? :D ) io ho dat la condizione che per fare triangoli uguali i lati devono essere paralleli..e quindi vale solo nel parallelogrammo XD

@petroliopg sembrano una cavolata...
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Robertopphneimer
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da Robertopphneimer » 25 ago 2012, 13:39

xXStephXx ha scritto:Stavo provando a farne qualcuno per sfizio.. ma in quello del tennis mi viene un risultato stranissimo...
E' possibile una cosa del tipo: $\displaystyle \frac{20p^5(1-p)^3}{1-2p(1-p)}+p^4+4p^4(1-p)+10p^4(1-p)^2$ ?
Ho ricontrollato più volte e non trovo l'errore xD Eppure ponendo cose come $p=\frac{1}{2}$, $p=1$ o $p=0$ non noto anomalie :D
Hanno detto tutti che era una progressione geometria del tipo $ 2(p(1-p))^k $ perché si contano tutti i pareggi fino a che il nostro tennista vince e in quel caso devi moltiplicare per $ p^2 $ poi devi anche includere i casi 4-0 e 4-1 . Comunque capito il ragionamento e (non me lo ricordavo...XD) il gioco del tennis si faceva e non era troppo difficile.

Qualcuno posta la sua al primo???
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da t4ilgr4b » 25 ago 2012, 13:45

Robertopphneimer ha scritto: Ciao(sei martino giusto?? :D ) io ho dat la condizione che per fare triangoli uguali i lati devono essere paralleli..e quindi vale solo nel parallelogrammo XD

@petroliopg sembrano una cavolata...
Ma il problema dice che hanno area uguale non che sono uguali! Comunque non ho fatto il test quest'anno, ho solo risolto il problema in camera mia! ahah
Chiedevo invece se nelle soluzioni dei problemi al test sia meglio, peggio o indifferente lasciare dei postulati base non dimostrati (appunto perchè base) o bisogna invece non dare nulla per scontato!
Ultima modifica di t4ilgr4b il 26 ago 2012, 17:22, modificato 1 volta in totale.

xXStephXx
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da xXStephXx » 25 ago 2012, 13:48

e c'è anche vittoria 4-2.. Comunque se è così forse è """normale""" che il risultato mi venga contorto xDD

Il primo l'avrei fatto in questo modo.
Siccome $x^4=y+z$, $y^4=x+z$ e $z^4=x+y$, se noi poniamo senza perdere di generalità $x\geq y\geq z$ facendo la sottrazione tra le prime due equazioni si ottiene:
$x^4-y^4=y-x$
Ora $LHS \geq 0$ e $RHS \leq 0$ per quello che avevo supposto prima.
Quindi l'unico caso di uguaglianza è quando sono entrambi uguali a $0$. Ovvero se e solo se $x=y$.
Analogamente si ricava anche $y=z$ E quindi $x=y=z$.
Da cui: $x^4 = 2x$ che ha come soluzioni $(0,0,0)$ e tutte e tre le variabili uguali a radice cubica di $2$. (era nei reali no?)

mattteo
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da mattteo » 25 ago 2012, 13:50

@xXStephXx: In teoria sono giusti tutti e due quelli che hai scritto qui. Anche a me il risultato del 2 viene contorto ma dovrebbe essere giusto.

Robertopphneimer
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Re: Matematica sns 2012-2013

Messaggio da Robertopphneimer » 25 ago 2012, 14:15

[quote="xXStephXx"]e c'è anche vittoria 4-2.. Comunque se è così forse è """normale""" che il risultato mi venga contorto xDD

Il primo l'avrei fatto in questo modo.
Siccome $x^4=y+z$, $y^4=x+z$ e $z^4=x+y$, se noi poniamo senza perdere di generalità $x\geq y\geq z$ facendo la sottrazione tra le prime due equazioni si ottiene:
$x^4-y^4=y-x$
Ora $LHS \geq 0$ e $RHS \leq 0$ per quello che avevo supposto prima.
Quindi l'unico caso di uguaglianza è quando sono entrambi uguali a $0$. Ovvero se e solo se $x=y$.
Analogamente si ricava anche $y=z$ E quindi $x=y=z$.
Da cui: $x^4 = 2x$ che ha come soluzioni $(0,0,0)$ e tutte e tre le variabili uguali a radice cubica di $2$. (era nei reali no?)[\quote]

si giusto. Comunque l'importante era far partire la successione...se tu metti k=0...vedi che c'è la probabilità di vincere 4 a 2 :D(almeno credo..non l'ho risolto bene al test)
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
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