,quidi chi ha voglia di postare ex test di qualunque tipo o di discuterne le risoluzioni (o lanciare come me un disperato grido d'aiuto)può farlo qui!!(se l'ho messo in un posto sbagliato spostatelo please!)1)si consideri l'espressione:$ k=4^x+4^y+4^z $ con $ x,y,z $ interi non negativi.
-provare che esistono infinite terne di interi tc $ k $ è un quadrato perfetto.
-determinare tutt le terne di interi non negativi $ (x,y,z) $ tc k è un quadrato perfetto.
qui io ho pensato: $ (2^x+2^y)^2=4^x+4^y+4^{(x+y+1)/2} $ e quindi tuttle le terne di interi$ (x,y,(x+y+1)/2) $ soddisfano. come faccio a trovarle tutte??o se queste sono ttte come faccio a dimostrare che lo sono?
2)supponiamo $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c} $ con a,b,c interi positivi e $ (a,b,c)=1 $
-dimostrare che sono tutti quadrati perfetti.è ancora vero se si omette l'ipotesi sul MCD?
-supponiamo invece che$ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{c} $,dimostrare che a,b,c sono tutti cubi perfetti.
per il primo punto:$ a+b+2\sqrt{ab}=c $ cioè $ 2\sqrt{ab} $dev'essere intero,e lo è sse $ ab=x^2 $ quindi o $ (a,b)=1 $e $ a=a_1^2,b=b_1^2 $ e inquel caso$ \sqrt{a},\sqrt{b} $sono entrambi interi e perciò anche $ \sqrt{c} $lo è, altrimenti se $ (a,b)=d $ d divide a, d divide b e d divide $ \sqrt{ab} $e quindi divide anche $ c=a+b+2\sqrt{ab} $ e $ (a,b,c)=d $ che va contro le ipotesi.
per il secondo punto come devo fare?
thank
