Soluzioni INDAM 2008/09 n°40 borse di studio

[kalup]

arrivati gli scans di EUCLA ecco qui le mie supposizioni per le risposte, se la maggioranza di voi motiva in modo diverso dal mio le cambio qui in primo post, cosi' risulta piu leggibile.

RIFERIMENTO AGLI SCANS:

1) A

2) B

3) A

4) D

5) A

6) B

7) D

8) A da verificare

9) D

10) E




Problemi:

1)

i) raggio a = (b + c - a)/2
raggio b = (a+c-b)/2
raggio c = (a+b-c)/2 (tnx to Gatto I was too aslept to calculate them)

ii) Angolo in A' = (beta+gamma)/2 = 90-alfa/2
Angolo in B' = (alfa+gamma)/2 = 90-beta/2
Angolo in C' = (alfa+beta)/2 = 90-gamma/2 (se avete messo una delle due soluzioni e 'ok, se ne conoscete altre scrivetele ^^ intanto tnx to gatto per la seconda versione di soluzioni)

iii) Per il triangolo ABC e' l'incentro, per il triangolo A'B'C' è il circocentro

iv) Considera l'asse di PC'. Essendo una corda di entrambe le circonferenze circoscritte ai quadrilateri AC'PB' e BA'PC' passa per entrambi i centri delle circonferenze. In particolare questa retta è perpendicolare a PC' quindi parallela ad AB. Analogamente fai gli altri e hai la similitudine in quanto tutti i lati corrispondenti sono paralleli (e quindi saranno uguali anche gli angoli) (TNX ad una timida utente XD)



2)

i) Si, esistono e sono 6 (vado a memoria corregetemi se sbaglio...)

ii) per N=5 non esistono, per N=10 esistono



3)

i) max= 14 min= 7

ii) 18 (contato cosi' beceramente a mente in maniera veloce, prob ho sbagliato perche i miei mi stavano parlando mentre contavo)

iii) Bruno

iv) e 'necessario scegliere un numero dispari, ad eccezione del 3, oppure 2 (grazie a stex x la precisazione)

[Ale90]

La prima l'ho fatta ma poi ho deciso di non metterla perché non ero sicuro...

La seconda direi 2008 oppure 2009, la terza a < 0, la quarta saltata, la quinta ok...

Poi c'erano il quadrato rigato (40), i due polinomi con relative radici (p(x-b) + q(x-a), mi pare), il commerciante (pacco meno caro di 1 euro e mezzo), i valori assoluti (1), le scommesse (15 e 30).

Previsioni sui punteggi?

[Gatto]

Le mie:

2008 o 2009

numero finito di minuscoli

a<0

8 trasformazioni

meno di 1.50 euro

15 euro x e 30 euro y

7 facce di cui 4 triangolari

valori assoluti 1 (3/2)

p(x-b) + q(x-a)

40 area del quadrato

[kalup]

concordo con le tue risposte Ale90...una sola domanda, ma tu sei del 1990, xke' hai dato l'esame quest'anno? non dovresti averlo dato il prossimo anno? o.O

comunque io credo 90 considerando che mi toglieranno 5 punti per la mia mala espressione e lieve disordine...

[Stex19]

Le mie:

2008 o 2009

numero finito di minuscoli

a<0

8 trasformazioni

meno di 1.50 euro

15 euro x e 30 euro y

7 facce di cui 4 triangolari

valori assoluti 1 (3/2)

p(x-b) + q(x-a)

40 area del quadrato

io le ho messe tutte uguali alle tue...

[Ale90]

concordo con le tue risposte Ale90...una sola domanda, ma tu sei del 1990, xke' hai dato l'esame quest'anno? non dovresti averlo dato il prossimo anno? o.O

comunque io credo 90 considerando che mi toglieranno 5 punti per la mia mala espressione e lieve disordine...

Sono un anno avanti
Comunque 8 risposte spero corrette e 2 bianche, metà del primo problema e tutto il secondo e il terzo (non garantisco nulla però...)

Sembra che ci sarà uno dei cut-off più spaventosi della storia dell'INDAM

[kalup]

perche' dite 2008 o 2009? da quanto ho analizzato la funzione non poteva salire al di sopra della bisettrice, quindi si poteva dedurre che il risultato doveva essere tra 1000 e 2008, ma essendo strettamente crescente risultava che era 2008...poi magari sbaglio...

[EUCLA]

Comunque per il come ho fatto..ho gentilmente chiesto: posso prendermene uno?

[kalup]

Comunque per il come ho fatto..ho gentilmente chiesto: posso prendermene uno?

lol comunque ora metto le risposte secondo me, se avete da contraddire o da domandare parliamone, se no evitiamo i "anche io ho fatto cosi'" perche se no si mette solo spam...boh poi non sono moderatore e sono qui da un giorno, quindi vedete voi...

[EUCLA]

Ho dovuto postar due volte perchè superava i 3 allegati.

[Gatto]

1)

i) non ricordo devo ricalcolarlo

ii) Angolo in A' = (beta+gamma)/2
Angolo in B' = (alfa+gamma)/2
Angolo in C' = (alfa+beta)/2

iii) Per il triangolo ABC e' l'incentro, per il triangolo A'B'C' è il circocentro

iv) Dimostrazione...qualcuno la scriva e poi si fa copia incolla XD se no si aspettano le soluzioni



2)

i) Si, esistono e sono 6 (vado a memoria corregetemi se sbaglio...)

ii) per N=5 non esistono, per N=10 esistono



3)

i) max= 14 min= 7

ii) 18 (contato cosi' beceramente a mente in maniera veloce, prob ho sbagliato perche i miei mi stavano parlando mentre contavo)

iii) Bruno

iv) e 'necessario scegliere un numero dispari, ad eccezione del 3[/tex]

Primo Prob:

1) alfa = (b + c - a)/2 e gli altri simili

2) A = 90 - alfa/2 (ma sei il terzo che mi dice quel risultato quindi tranquillo... solo che nn capisco l'errore mio )

3,4) nn fatti

Secondo Prob:

Uguale.

Terzi Prob:

Uguale tranne il quarto punto che nn ho fatto in tempo a fare (ma dovrebbe essere così).

[Stex19]

3)

i) max= 14 min= 7

ii) 18 (contato cosi' beceramente a mente in maniera veloce, prob ho sbagliato perche i miei mi stavano parlando mentre contavo)

iii) Bruno

iv) e 'necessario scegliere un numero dispari, ad eccezione del 3[/tex]

io ne iv ho messo anche 2... altri hanno messo pure 0....

nel punto iv del primo ho fatto una dimostrazione (se così si puo chaimare) penose e affrettata che non sto a riportare...

nel ii del 2 ho aggiungo anche che pe n=10 esistono 9*8*7*4!*3! permutazioni buone... seriva o è lavoro inutile?

[kalup]

intanto grazie a Gatto e stex19, ho corretto li sopra...

@stex19 0 non e' da considerare in quanto non sarebb il gioco...si potrebbe pensarlo come caso limite di lunghezza 1, ma non e' molto sensato...
il lavoro non era richiesto, ma se per caso volessero toglierti dei punti per qualche incorrettezza formale o simili, e' possibile che li reintegrino grazie a quello che hai scritto...poi non so non sta a me correggere XD

@Gatto: l'angolo da considerare è interno al triangolo ABC, ora prendiam come caso l'angolo in A' , esso e 'pari a
[center]180-(180-beta+180-gamma)/2[/center]
in quanto 180 e' la misura dell'angolo piatto sul quale posa l'angolo in A'
(180-beta)/2 e 'la misura dell'angolo 'CA'B
(180-beta)/2 e 'la misura dell'angolo B'A'C
si raccoglie a fattor comune il /2 e si eseguono i calcoli...


spero riesci a capire il ragionamento nche senza disegno...

[Gatto]

Si tranquillo quello me l'avevano spiegato, nn trovavo l'errore mio

Io ho considerato gli angoli cercati come differenza di 180 - i due angoli adiacenti, che trovavo sapendo che ogni triangolo formato da una circonferenza era isoscele (in quanto due lati erano uguali in quanto raggi).
Posti x,y e z gli angoli uguali dei triangoli isosceli:

Mi trovavo:
2x + alfa = 180 = alfa + beta + gamma --> x = (beta + gamma)/2
2y + beta = 180 = alfa + beta + gamma --> y = (alfa + gamma)/2

Così per esempio un angolo cercato veniva 180 - (x + y) = 180 - (2gamma + beta + alfa)/2 e sfruttando che la somma dei tre era 180 veniva 180 - 180/2 - gamma/2 = 90 - gamma/2

Uno degli esperti mi trova l'errore sennò nn ci dormo?

[kalup]

e 'corretto quello che hai scritto...e' la stess acosa...

infatti prendendo quello che avevo scritto come possibile soluzione:

(alfa+beta)/2=C'

al num aggiungo gamma e sottraggo gamma ottenendo:

(alfa+beta+gamma-gamma)/2=C'
essendo:
alfa+beta+gamma=180
allora:
(180-gamma)/2=C'

in altri termini:

C'=90-gamma/2

aggiungo questa versione del risultato nel primo post...comunque complimenti e' carina come soluzione perché lega ogni angolo con quello suo opposto ^^