Soluzioni INDAM 2008/09 n°40 borse di studio

Scuola Normale Superiore, Sant'Anna, Indam, etc. Cosa studiare, come prepararsi.
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Gatto
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Messaggio da Gatto » 09 set 2008, 22:47

Grazie mille :D
"Fu chiaro sin dall'inizio che ogni qual volta c'era un lavoro da fare, il gatto si rendeva irreperibile." (George Orwell - La fattoria degli animali)

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Desh
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Messaggio da Desh » 10 set 2008, 00:07

Nella 8 perché non può essere $ F(2008)=2009 $?
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kalup
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Messaggio da kalup » 10 set 2008, 00:33

mmmm...sono nel panico...non ricordo perche' abbia fatto quel pensiero, ma ora leggendo mi pare di avere letto male durante la prova...ci pensero' su a mente un po piu lucida..intanto se mai scrivetemi le vostre dimostrazioni...


EDIT: pensando ancora un poco, ho dimostrato che f(2008) non puo' essere maggiore di 2009...chissa cosa ho pensato oggi...non ricordo piu'...
Ultima modifica di kalup il 10 set 2008, 00:47, modificato 1 volta in totale.

Stex19
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Messaggio da Stex19 » 10 set 2008, 00:46

Desh ha scritto:Nella 8 perché non può essere $ F(2008)=2009 $?
io infatti ho messo che puo essere sia 2008 che 2009....
anche perchè senò non si giustificherebbe il minore o uguale nella formula $ f(f(x)) \leq f(x+1) $

kalup
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Messaggio da kalup » 10 set 2008, 01:24

c''e qualcosache non quadra...ho trovato una f(x) che rispetta tutto persino l'insieme Z, ma che a f(2008) non da né 2008 né 2009...

questa frazione:

$ y=2017x/2016-125/252 $

Stex19
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Messaggio da Stex19 » 10 set 2008, 08:29

kalup ha scritto:c''e qualcosache non quadra...ho trovato una f(x) che rispetta tutto persino l'insieme Z, ma che a f(2008) non da né 2008 né 2009...

questa frazione:

$ y=2017x/2016-125/252 $
non mi sembra che per x=1 y sia intero... :?

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Desh
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Messaggio da Desh » 10 set 2008, 08:42

Stex19 ha scritto:
kalup ha scritto:c''e qualcosache non quadra...ho trovato una f(x) che rispetta tutto persino l'insieme Z, ma che a f(2008) non da né 2008 né 2009...

questa frazione:

$ y=2017x/2016-125/252 $
non mi sembra che per x=1 y sia intero... :?
e neanche per un bel po' di altri valori
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cecicasa
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Messaggio da cecicasa » 10 set 2008, 09:23

ma nessuno di voi prova a entrare alla normale????

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 10 set 2008, 09:28

cecicasa ha scritto:ma nessuno di voi prova a entrare alla normale????
Beh sei un po' in ritardo :roll: , a meno che tu non ti rivolga a coloro che vogliono provarci l'anno prossimo (nel qual caso mi pare ancora un po' presto non credi :wink: ?).
Altrimenti guarda un po' più in basso in questa stessa sezione del forum 8) .
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

cecicasa
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Messaggio da cecicasa » 10 set 2008, 09:37

no mi hai frainteso.. :D intendevo chiedere se qualcuno di quelli che stanno scrivendo nel forum e sembra che abbiano fatto tutto giusto abbiano provato anche la normale...perchè se vengono presi là le borse di studio le lasciano a noi poveretti che abbiamo fatto qualche errore in più!!

haZe
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Messaggio da haZe » 10 set 2008, 09:48

@Desh e altri:
Siete sicuri che potesse essere anche 2009? Nella fretta di quelle tre ore mi sembrava d'aver dimostrato che $ F(x) = x $, ma ovviamente potrei sbagliarmi. (Con cinque punti in meno la borsa me la scordo definitivamente. :( )

@cecicasa:
Sicuramente una decina di normalisti/galileiani che rinunciano alla borsa ci saranno.. bisogna vedere se basta!

kalup
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Messaggio da kalup » 10 set 2008, 09:53

Stex19 ha scritto:
kalup ha scritto:c''e qualcosache non quadra...ho trovato una f(x) che rispetta tutto persino l'insieme Z, ma che a f(2008) non da né 2008 né 2009...

questa frazione:

$ y=2017x/2016-125/252 $
non mi sembra che per x=1 y sia intero... :?
LOL mi ero perso qualcosina ieri sera XD stavo pensando all'insieme Q e non a quello Z :P ora comunque devo fare dei lavori in casa, poi c iripensero'..

EDIT: giusto per dire, o per sfogarmi, ho capito cosa ho sbagliato nel compito...ho letto:
$ f(f(x) \leq f(x-1) $ anzichè $ f(f(x) \leq f(x+1) $
perché mentre rileggevo mi è venuto in mente il ragionamento che facevo nel compito e mi sono accorto che scaturisce da ciò...ho fatto troppi errori stupidi..sarò intorno all'85...addio borsa di studio T_T
Ultima modifica di kalup il 10 set 2008, 10:27, modificato 1 volta in totale.

kalup
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Messaggio da kalup » 10 set 2008, 10:23

non so cosa io abbia pensato nel test, comunque adesso ho notato che "non si puo' determinare, ma o e' 2008 o 2009"

F(x) in 2008 non può essere superiore a 2009, in quanto data la relazione:
$ f(f(x)) \leq f(x+1) $
se si assume per $ f(2008)>2009 $
allora risulta paradossale in quanto si avrebbe
$ f(2009+n) \leq f(2009) $
ma ciò va contro la stretta crescenza della formula.
se si assume $ f(2008)=2009 $ allora si ottiene $ f(2009) \leq f(2009) $ che è vero
se si assume $ f(2008) \leq 2008 $ allora si ha $ f(2009-n) \leq f(2009) $ che rispetta le leggi d istretta crescienza...
ovviamente $ n $ appartiene all'insieme $ N $.

essendo la funzione strettamente crescente, e appartenendo all'insieme Z (dove ci sono solo numeri interi, al massimo con il segno meno...e non le frazioni come pensavo io ieri sera...) s ideduce che la funzione tra x=1000 e x=2008 deve sempre crescere, pertanto deve essere sempre con coefficiente angolare al minimo =1. pertanto al minimo la funzione in f(2008) potrà assumere il valore 2008 poichè ogni valore inferiore significherebbe una non crescenza della funzione nell'intervallo [1000;2008], considerando la prima deduzione fatta, ovvero che non puo assumere valori superiori al 2009 risulta che in 2008 deve assumere valori interi compresi nel'lintervallo chiuso [2008;2009], il che equivale a dire che può assumere come valori o 2008 o 2009.

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mattilgale
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Messaggio da mattilgale » 10 set 2008, 11:02

la tua ultima proposizione è falsa ed in una gara o in un test tipo normale ti farebbe perdere punti... dire che può assumere solo i valori 2008 e 2009 non equivale a dire che assume proprio quelli, può darsi che funzioni con f(2008)=2008 non esistano, o che non ne esistano con f(2008)=2009... o con nessuno dei due risultati!
a questo punto mostri degli esempi, che è la cosa più semplice per convincersi, durante il test, di non aver fatto cazzate

per f(2008)=2008 basta considerare f(x)=x
per f(2008)=2009 fai f(x)=x fino a 2007 e poi f(x)=x+1

queste due rispettano le ipotesi = alé!
"la matematica è il linguaggio con cui Dio ha plasmato l'universo"

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Messaggio da kalup » 10 set 2008, 12:02

mmm stavo iniziando a scriverla cosi' ma non mi pareva molto pertinente e completa, inoltre avevo scritto cio' solo per mostrarlo in questo forum, la risposta era da scegliere tra 5...e le avevo in mente quelle due, sapevo che esistevano, ma non ho pensato a scriverle...sono n44b...d'altra parte se nella gara ho letto male due testi vuol dire che sono veramente stupido T_T

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