15. Dal teorema di Pitagora si ricava che tra Logix e Algebris ci sono 144 km, e si riscontra elementarmente che il triangolo grande e quello Arithmeville-Gemocity-Algebris sono simili. Essendo il lato inferiore di quello piccolo i 7/12 del lato inferiore di quello grande (144 km - 60 km = 84 km, 84 km / 144 km = 7/12), questo è il rapporto di similitudine, e dunque la distanza cercata è di 60 km * 7/12 =
35 km.
16. Si considera il triangolo equilatero con vertici i tre centri delle circonferenze: se il lato curvilineo è 10pi cm, le intere circonferenze sono 60pi cm (essendo settori circolari di 60°), e i raggi sono 30 cm. Dunque tale triangolo ha lato 60 cm, e area $ 900 \sqrt{3} \mbox{ } cm^2 $. Togliamo ora le parti interne alle circonferenze: tre spicchi di un sesto, pari a metà di una circonferenza, per un totale di $ 900 \frac{\pi}{2} \mbox{ } cm^2 $. L'area richiesta è pertanto di $ 900 (\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}) \mbox{ } cm^2 $, e dovendosi approssimare come richiesto dal testo, il valore è di $ 900 (1.73-1.57) \mbox{ } cm^2 = 900 \cdot 0.16 \mbox{ } cm^2 = \mathbf{144 \mbox{ } cm^2} $.
17. Consideriamo le seguenti uguaglianze:
$ \begin{eqnarray*} a+b & = & l^2 \\
b+c & = & m^2 \\
c+a & = & n^2 \end{eqnarray*} $
$ \begin{eqnarray*} a+2b+c & = & l^2+m^2 \\
2b & = & l^2+m^2-n^2 \\
b & = & \frac{1}{2}(l^2+m^2-n^2) \end{eqnarray*} $
$ \begin{eqnarray*} a & = & \frac{1}{2}(l^2+n^2-m^2) > 0 \\
b & = & \frac{1}{2}(l^2+m^2-n^2) > 0 \\
c & = & \frac{1}{2}(m^2+n^2-l^2) > 0 \end{eqnarray*} $
Osserviamo ora le seguenti cose:
- le quantità a secondo membro, fattore numerico escluso, devono essere pari, proprio per la presenza di tale fattore; esse sono evidentemente invarianti per parità (differiscono tra di loro per quantità visibilmente multiple di 2), dunque è sufficiente imporre la parita per una di esse. Sostanzialmente, questo si traduce nel fatto che l^2, m^2, n^2, dunque l,m,n, o sono tutti pari, o uno pari e due dispari;
- le stesse quantità devono soddisfare la disuguaglianza triangolare, affinché a,b,c risultino effettivamente positivi;
- due quantità uguali tra l,m,n, danno due quantità uguali tra a,b,c: dunque devono essere valori tutti diversi tra loro;
- a+b+c = (1/2) (l^2+m^2+n^2) : aumentando una quantità qualunque, aumentano entrambe le somme.
Se sono tutti pari, la terna più piccola che soddisfa quanto sopra, tenendo conto dell'ordine richiesto e indotto da a<b<c, è (l,n,m)=(8,10,12), che porta ad (a,b,c)=(10,54,90). Infatti (6,8,10) è pitagorica e dunque i loro quadrati non soddisfano la disuguaglianza triangolare, a maggior ragione non soddisfatta da tutte le terne di pari consecutivi inferiori, e ad ulteriore ragione da quelle in cui i numeri che le compongono sono più distanziati.
Se sono uno pari e due dispari, ragioniamo sul pari. Se è 2, non va se gli altri sono (1,3), e a maggior ragione altrimenti (il più grande lo è troppo); se è 4, con (1,3) è 4 ad essere grande, con (3,5) non va (terna pitagorica), dunque nemmeno con gli altri (la forbice si allarga); se è 6, non vanno (1,3), (1,5), (3,5), essendo 6 troppo grande, mentre è 7 troppo grande per (1,7), (3,7). Tuttavia, va bene la terna (l,n,m)=(5,6,7), che porta ad
(a,b,c)=(6,19,30), soluzione pertanto del problema.