OliForum Matematico

di solito il GP sui 2 errori
ma successo anche 3
dipende da come va in generale

L'anno scorso in Gp con tre errori si passava e vista la difficoltà del 17 è possibile che con 7 su 10 si passi, ma ovviamente dipende dagli altri: a Modena io so di un 10 su 10 e di tre 8 su 10. A carpi due 9 su 10.

fph ha scritto:12- 20,21 -- ma sicuramente ce ne sono delle altre buone

20 = 9+11
21 = 8+13
24 = 17+7
35 = 29+6
Dovrebbero essere tutte: corrispondono alle fattorizzazioni di 24 in cui si somma 5 a ciascuno dei fattori.

fph ha scritto:16- 2,5,6; 2,3,14; 4,4,4 dovrebbero andare bene. Ho messo le prime due perché non mi era chiaro se contassero anche con lati uguali.

Anche 2,4,8. Qualcuno ha idea di come si trovano tutte? La relazione a cui si arriva è
$ ~ab+bc+ca=4(a+b+c) $

fph ha scritto:17- 12\sqrt{2}\sqrt{3}=29.388576.
Problema abbastanza difficile per le provinciali, vi consiglio di provarlo.

Ahi ahi ahi. La soluzione è $ ~24\sqrt{2} $.
Non svelo come si risolve perché condivido l'osservazione di fph sulla difficoltà. Comunque ci ho messo poco meno di un'ora a fare solo quello.

Per quanto riguarda il punteggio con cui si passa, la gara era difficile, quindi direi con 3-4 errori, se gli iscritti fossero sempre lo stesso numero. Il problema è che la categoria GP è molto frustrante per un dilettante completo, perché la concorrenza di ex-olimpionici, ex-normalisti e persone genericamente forti è notevole. Temo che di anno in anno le iscrizioni di "normali" stiano diminuendo e questo porterà un po' alla volta a punteggi di selezione veramente alti.

Io comunque sono un 10/10, quindi non mi preoccupo

ma che idiota...sul 15 ho messo il rapporto dei pesi quadratici...1/9, mi sono dimenticato di metterlo sotto radice, difficile che passi quest'anno, qualcuno mi può dire con buona approssimazione se (4, 4, 4) sul 16 era accettabile?

Californication ha scritto:ma che idiota...sul 15 ho messo il rapporto dei pesi quadratici...1/9, mi sono dimenticato di metterlo sotto radice, difficile che passi quest'anno, qualcuno mi può dire con buona approssimazione se (4, 4, 4) sul 16 era accettabile?

Sì, era accettabile
Da Genova nessuna concorrenza sui GP(un solo partecipante con 5/10 mi pare), nei C2 c'è stato un 8/8 , nei L1 e L2 massimo 7, C1 non un gran che... (il primo 6/8, gli altri peggio)

teppic ha scritto:

fph ha scritto:16- 2,5,6; 2,3,14; 4,4,4 dovrebbero andare bene. Ho messo le prime due perché non mi era chiaro se contassero anche con lati uguali.

Anche 2,4,8. Qualcuno ha idea di come si trovano tutte? La relazione a cui si arriva è
$ ~ab+bc+ca=4(a+b+c) $

1- Una variabile è 1, wlog $ 1=a \le b \le c \implies (b-3)(c-3)=15 \implies (a,b,c)=(1,4,16),(1,6,8) $.
2- Una variabile è 2, wlog $ 2=a \le b \le c \implies (b-2)(c-2)=12 \implies (a,b,c)=(2,3,14),(2,4,8),(2,5,6) $.
3- Una variabile è 3, wlog $ 3 = a \le b \le c \implies (b-1)(c-1)=13 $ assurdo.
4. Una variabile è 4, wlog $ 4=a \le b \le c \implies bc=16 \implies (a,b,c)=(4,4,4) $.
5. Wlog $ 0<k<4+k = a \le b \le c \implies ((4+k)+k)^2 \le (b+k)(c+k) = (4+k)^2-4k $ assurdo.

teppic ha scritto:Io comunque sono un 10/10, quindi non mi preoccupo

Compliments

edit: si, corretto Gatto

jordan ha scritto: 1- Una variabile è 1, wlog $ 1=a \le b \le c \implies (b-3)(c-3)=5 \implies (a,b,c)=(1,4,8) $.

Qua mi sa c'è una piccola svista

teppic ha scritto:La relazione a cui si arriva è
$ ~ab+bc+ca=4(a+b+c) $

Io sono arrivato ad:

(a-4) * (b-4) * (c-4) = abc - 64

da cui, ponendo a=4, dovrà annullarsi anche l'RHS, per cui bc=16, ovvero (b,c)=( 1,16 ), ( 2,8 ), ( 4,4 ) e simmetriche. Non erano le uniche soluzioni, tuttavia così se ne potevano trovare già tre.

teppic ha scritto: $ ~ab+bc+ca=4(a+b+c) $

Oppure si riscrive come $ $a(b-4)+b(c-4)+c(a-4)=0$ $ da cui si deduce che almeno un'incognita deve essere <4

fede90 ha scritto:

teppic ha scritto: $ ~ab+bc+ca=4(a+b+c) $

Oppure si riscrive come $ $a(b-4)+b(c-4)+c(a-4)=0$ $ da cui si deduce che almeno un'incognita deve essere <4

Allora, da:

(a-4) * (b-4) * (c-4) = abc - 64

si ottiene, se a = 1:

(1-4) * (b-4) * (c-4) = bc - 64
3 * (b-4) * (c-4) = 64 - bc
3 * (bc-4b-4c+16) = 64 - bc
3*bc - 12*b - 12*c + 48 - 64 + bc = 0
4*bc - 12*b - 12*c - 16 = 0
bc - 3*b - 3*c - 4 = 0
bc - 3*b - 3*c + 9 = 13
(b-3) * (c-3) = 13

da cui b = 4, c = 16 se vogliamo che a<b<c.

Se a = 2:

(2-4) * (b-4) * (c-4) = 2*bc - 64
2 * (b-4) * (c-4) = 64 - 2*bc
(b-4) * (c-4) = 32 - bc
bc - 4*b - 4*c + 16 = 32 - bc
2*bc - 4*b -4*c - 16 = 0
bc - 2*b - 2*c - 8 = 0
bc - 2*b - 2*c + 4 = 12
(b-2) * (c-2) = 12

da cui b = 3, c = 14, oppure b = 4, c = 8, oppure b = 5, c = 6, sempre nell'ipotesi in cui a<b<c.

Se a = 3:

(3-4) * (b-4) * (c-4) = 3*bc - 64
(b-4) * (c-4) = 64 - 3*bc
bc - 4*b - 4*c + 16 = 64 - 3*bc
4*bc - 4*b - 4*c - 48 = 0
bc - b - c - 12 = 0
bc - b - c + 1 = 13
(b-1) * (c-1) = 13

da cui si ottiene b = 2 oppure c = 2, per cui permutazioni delle soluzioni già trovate.

Se a = 4:

(4-4) * (b-4) * (c-4) = 4*bc - 64
0 = 4*bc - 64
0 = bc - 16
bc = 16

da cui per b = 1 e b = 2 si ottengono permutazioni di soluzioni già ricavate, mentre b = 4, c = 4, è una nuova soluzione.

Non riesco a capire come si giunga alla terna ( 1,6,8 ). Oltretutto sostituendo nella relazione quotata di teppic si perviene ad un assurdo.

A me è andata abbastanza male: 3 errori su 8 (sono della L1): ho sbagliato il 7 (troppa fretta), l'8 (più che a tentativi non sapevo come farlo e se non hai fortuna a trovare per caso la configurazione giusta non se ne esce) e il 12, che invece mi fa dannare perché il testo non era per niente chiaro: ci sono stato sopra più di un'ora tentando invano di risolverlo contando anche i rettangoli che fossero il risultato di più rettangolini accostati (come le olimpiadi ci abituano a pensare...) e poi vengo a sapere che bisognava semplicemente contare i rettangolini!!! Tra l'altro anche mi fosse passato per la testa di chiedere chiarimenti non me ne avrebbero dati, visto che "non potevano dare alcun tipo di indicazione" (e invece ce n'era bisogno, visto anche quello che è successo ad alcuni per il 13...). In ogni caso qualcuno sa quanti erano i partecipanti della L1 a Torino e con quanti errori/punti si può passare? Io di sicuro non passerò però un ragazzo della mia scuola li ha fatti tutti giusti quindi...

afullo ha scritto:Non riesco a capire come si giunga alla terna ( 1,6,8 ). Oltretutto sostituendo nella relazione quotata di teppic si perviene ad un assurdo.

E' che qui:

jordan ha scritto:1- Una variabile è 1, wlog $ 1=a \le b \le c \implies (b-3)(c-3)=15 \implies (a,b,c)=(1,4,16),(1,6,8) $.

c'è ancora un errore. Il numero al RHS dovrebbe essere 13, con una sola fattorizzazione da cui si deduce (1,4,16) e basta.

Thebear ha scritto:Tra l'altro anche mi fosse passato per la testa di chiedere chiarimenti non me ne avrebbero dati, visto che "non potevano dare alcun tipo di indicazione" (e invece ce n'era bisogno, visto anche quello che è successo ad alcuni per il 13...).

Il punto è che chi fa assistenza nelle aule durante la gara non conosce i testi e spesso non è nemmeno in grado di interpretarli meglio di te. In tanti anni di esperienza, in qualche sede è capitato che un controllore rispondesse alle richieste di chiarimenti degli studenti... con esiti tra l'esilarante e il disastroso.

Lascia stare: per il futuro, il consiglio è (in caso di dubbi) di cercare di interpretare il testo in modo che la domanda sia più sensata/corretta/elegante. Di solito ci si prende. (Anche perché quest'anno non erano scritti poi così male.)

Da premettere che è il primo anno che lo faccio ma.....non vi è sembrato un po poco chiaro??? Ad esempio in quella del torneo di scacchi non diceva se tre giocatori avevano perso 7 partite ognuno o tutti e 3 insieme. Anche in quello delle rette non diceva di considerare solo i rettangoli piccoli e non quelli formati da piu rettangoli (come ho fatto io)

ma il dodici non era quello dei rettangoli e delle aree illimitate?...perché vedo risultati dispari...ma non bisognava scriverle a coppie?...
che test poco poco poco chiaro...