E basta con 'sto Cauchy-Schwartz

[psion_metacreativo]

Spostato da MindFlyer
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Chi non conosce la celeberrima disuguaglianza di Cauchy-Schwartz scagli la prima pietra. Bene la suddetta disuguaglianza afferma (in forma vettoriale la più veloce da scrivere con il LaTex) che: $ \displaystyale\forall u,v\in\mathbb{R}^{n}\ \ \ |u\cdot v|\leq||u||\cdot||v|| $ (ovviamente mi riferisco al prodotto scalare standard). Questa disuguaglianza implica che esiste $ A\in\mathbb{R}^{+} $ tale che $ A=||u||^{2}\cdot||v||^{2}-|u\cdot v|^{2} $. Or dunque quanto vale $ A $?

P.S. La mia risoluzione coinvolge un po' di teoria delle matrici, chiedo un parere ai mods per sapere esattamente in che misura debba intendersi olimpica la teoria delle matrici, e se può essere adoperata liberamente nelle gare. In caso affermativo uno di questi giorni descriverò nel glossario il teorema di Laplace e la Formula di Binet-Cauchy due dei risultati più semplici è più utili che si incontrano subito in algebra lineare.

[fph]

1) nelle gare puoi adoperare tranquillamente tutta la matematica esistente, anche i teoremi di autoaggiunzione di Kato-Reillich , purché tutti i teoremi che usi siano veri (...) e enunciati con la dovuta precisione.
2) quanto alla sezione del forum dove mettere l'algebra lineare... beh, personalmente sarei dell'idea di considerarla non olimpica almeno a questo livello (e quindi mettere tutto nella sezione MNE), ma se ne può parlare se gli altri la pensano diversamente.

[MindFlyer]

1) nelle gare puoi adoperare tranquillamente tutta la matematica esistente, anche i teoremi di autoaggiunzione di Kato-Reillich , purché tutti i teoremi che usi siano veri (...) e enunciati con la dovuta precisione.

Non per aprire una discussione inutile, ma questo punto è quantomeno ambiguo...
Nell gare non puoi usare tutti i teoremi (sebbene veri (dimostrabili) ed enunciati con precisione). Altrimenti, i problemi della forma "dimostrare che..." non potrebbero essere sensatamente dati alle gare. Infatti, riscrivendo semplicemente l'implicazione ipotesi-->tesi avresti risolto il problema con l'uso di un teorema.
I teoremi utilizzabili vanno allora ristretti ad un insieme finito (tra cui i cosiddetti "teoremi con nome e cognome"). Quale sia un criterio per decidere se un teorema è utilizzabile o no, è difficile dirlo, comunque tutto ciò che è scritto nelle schede olimpiche è fuori pericolo.

[psion_metacreativo]

Ma teoricamente se uno vuol usare un teorema di cui conosce la dimostrazione e scrive nella sua prova enunciato e dimostrazione poi è libero di usare quel teorema nel suo compito? (è più una curiosità teorica dato che in pratica non converrebbe al candidato un simile comportamento dacchè perderebbe un mucchio di tempo in questo modo...)

[fph]

Ma teoricamente se uno vuol usare un teorema di cui conosce la dimostrazione e scrive nella sua prova enunciato e dimostrazione poi è libero di usare quel teorema nel suo compito?

Sicuro, si chiamano "lemmi".
Puoi scrivere qualunque cosa, purché la dimostrazione "fili".

@mind: hai ragione, mi sono espresso male...

[BlaisorBlade]

Chi non conosce la celeberrima disuguaglianza di Cauchy-Schwartz scagli la prima pietra. Bene la suddetta disuguaglianza afferma (in forma vettoriale la più veloce da scrivere con il LaTex) che: $ \displaystyale\forall u,v\in\mathbb{R}^{n}\ \ \ |u\cdot v|\leq||u||\cdot||v|| $ (ovviamente mi riferisco al prodotto scalare standard). Questa disuguaglianza implica che esiste $ A\in\mathbb{R}^{+} $ tale che $ A=||u||^{2}\cdot||v||^{2}-|u\cdot v|^{2} $. Or dunque quanto vale $ A $?

Dunque, normalmente si definisce $ \cos \widehat{vx} = \frac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||} $, sensato proprio per la disuguaglianza di sopra, quindi $ A = ||u|| \cdot ||v|| \cdot (1-\cos^2 \widehat{vx}) = ||u|| \cdot ||v|| \cdot \sin^2 \widehat{vx} $.
O intendevi un altro risultato?

[psion_metacreativo]

Intendevo esplicitare $ A $ rispetto alle coordinate dei due vettori e arrivare alla forma più semplice, o quantomeno più compatta. (Per compatta intendo che se una formula involve 3 sommatorie una ottenuta manipolando algebricamente per trovarne 2 o 1 è più compatta e dal mio punto di vista più semplice).

[psion_metacreativo]

è così brutto 'sto problema?

[karl]

$ \displaystyle A=\sum\limits_{i=1}^n{u_i^2}\sum\limits_{i=1}^n{v_i^2}-(\sum\limits_{i=1}^n{u_iv_i})^2=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n}({u_iv_j-u_jv_i)^2 $

$ u_i $ e $ v_i $ sono le componenti dei vettori u e v.

[psion_metacreativo]

Risultato corretto karl, se non è di troppo disturbo, mi piacerebbe leggere i contazzi intermedi perchè esattamente non saprei manipolare più di tanto l'espressione a sinistra nella tua equazione con quei quadrati a go go.
Comunque per completezza scrivo la mia soluzione che invece dipende da un po' di teoria delle matrici:

Premessa:ogni matrice che comparirà nel seguito ha come entrate numeri reali.
Sia $ \displaystyle\begin{math}A=\left(\begin{array}{col1,col2} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot c_i&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot d_i\\\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i\cdot c_i&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i\cdot d_i\end{array}\right)\end{math} $, notiamo che $ \displaystyle\begin{math}A=\left(\begin{array}{c}a_1\ldots a_n\\b_1\ldots b_n\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{col1,col2}c_1&d_1\\ \vdots&\vdots\\ c_n&d_n\end{array}\right) $.
Calcoliamo ora il $ \det (A) $ in due maniere:
$ \displaystyle 1)\ \det (\left(\begin{array}{c}a_1\ldots a_n\\b_1\ldots b_n\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{col1,col2}c_1&d_1\\ \vdots&\vdots\\ c_n&d_n\end{array}\right))= $$ \displaystyle\sum_{1\leq k<l\leq n}\det (\left(\begin{array}{col1,col2}a_k&a_l\\b_k&b_l\end{array}\right))\cdot\det (\left(\begin{array}{col1,col2}c_k&d_k\\c_l&d_l\end{array}\right))= $
$ \displaystyle =\sum_{1\leq k<l\leq n}(a_kb_l-a_lb_k)\cdot (c_kd_l-c_ld_k) $ dove la prima uguaglianza è ottenuta per la formula di Binet-Cauchy.

$ \displaystyle 2)\ \det (\left(\begin{array}{col1,col2} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot c_i&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot d_i\\\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i\cdot c_i&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i\cdot d_i\end{array}\right)\end{math})= $
$ \displaystyle =\left(\sum_{i=1}^{n}a_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_id_i\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}b_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}a_id_i\right) $ per il teorema di Laplace applicato alla prima riga.

$ 1)=2) $

$ \Downarrow $

$ \displaystyle\sum_{1\leq k<l\leq n}(a_kb_l-a_lb_k)\cdot (c_kd_l-c_ld_k)= $$ \displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}a_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_id_i\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}b_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}a_id_i\right) $

Se $ \forall i=1,\ldots,n\ \ a_i=c_i\ \ b_i=d_i $ allora
$ \displaystyle\sum_{1\leq k<l\leq n}(a_kb_l-a_lb_k)^2= $$ \displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2 $
Come volevasi dimostrare.
Da notare che questa può essere l'n-esima dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz in quanto dall'ultima riga si deduce che il membro di destra deve essere maggiore o uguale a zero.

[karl]

Ho applicato alcuni teoremi relativi agli.... spazi di Banach.
Non ci credi? Fai bene perche' piu' modestamente mi sono fatti alcuni contazzi nel caso di n=3 ( il....piu' ampio possibile ,come vedi!) ed ho poi generalizzato con la mia ormai riconosciuta abilita'.... di manipolatore di formule.
D'altra parte tu chiedevi solo il valore di A ...e non il relativo procedimento!!

[pi]

Ciao!

Scusate se mi intrometto e se lo faccio così in ritardo..

Stavo cercando qualcosa su internet sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz perchè non avevo la minima idea di cosa fosse e sapevo che mi sarebbe potuta servire...

scusate l'ignoranza ma adesso che "so" che cosa è non ho idea sul modo in cui mi potrà servire (intendo anche per un ipotetico orale al test in Normale). Se mi fate qualche esempio ve ne sarei grato..

Grazie 1000 a chiunque mi illumini!!

[Agi_90]

scusate l'ignoranza ma adesso che "so" che cosa è non ho idea sul modo in cui mi potrà servire (intendo anche per un ipotetico orale al test in Normale). Se mi fate qualche esempio ve ne sarei grato..

Grazie 1000 a chiunque mi illumini!!

Sul sito di gobbino c'è tutto quello che cerchi
e in particolare A2 del senior parla anche di cauchy e applicazioni.

[pi]

Grazieeee!!!!!! Ero andato un po' di volte su quel sito ma non avevo mai visto quelle cosette...peccato che non mi apre i video..e va bè..grazie ancora!!

Ciao!