gara febbraio 2019

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vagnani
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gara febbraio 2019

Messaggio da vagnani » 05 gen 2020, 18:08

ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?

Mattysal
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da Mattysal » 05 gen 2020, 21:02

vagnani ha scritto:
05 gen 2020, 18:08
ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?
Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math].
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math].
Partiamo col dire che [math] è isoscele in quanto [math] e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math].
Segue che [math].
Ma [math] è isoscele quindi [math] è bisettrice di [math].
Notiamo che [math] ([math] è isoscele!} e quindi [math].\\
Segue quindi che [math] quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]

Edit: ho sbagliato un verbo :oops:

vagnani
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da vagnani » 08 gen 2020, 18:01

Mattysal ha scritto:
05 gen 2020, 21:02
vagnani ha scritto:
05 gen 2020, 18:08
ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?
Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math].
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math].
Partiamo col dire che [math] è isoscele in quanto [math] e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math].
Segue che [math].
Ma [math] è isoscele quindi [math] è bisettrice di [math].
Notiamo che [math] ([math] è isoscele!} e quindi [math].\\
Segue quindi che [math] quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]

Edit: ho sbagliato un verbo :oops:
grazie mille. più chiaro rispetto alla soluzione proposta. più che altro insistevo sul cercare di dimostrare la presenza di angoli supplementari, e non sapevo che ci fossero altre condizioni per l'inscrivibilità di un quadrilatero.

Mattysal
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da Mattysal » 08 gen 2020, 18:22

vagnani ha scritto:
08 gen 2020, 18:01
Mattysal ha scritto:
05 gen 2020, 21:02
vagnani ha scritto:
05 gen 2020, 18:08
ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?
Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math].
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math].
Partiamo col dire che [math] è isoscele in quanto [math] e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math].
Segue che [math].
Ma [math] è isoscele quindi [math] è bisettrice di [math].
Notiamo che [math] ([math] è isoscele!} e quindi [math].\\
Segue quindi che [math] quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]

Edit: ho sbagliato un verbo :oops:
grazie mille. più chiaro rispetto alla soluzione proposta. più che altro insistevo sul cercare di dimostrare la presenza di angoli supplementari, e non sapevo che ci fossero altre condizioni per l'inscrivibilità di un quadrilatero.
Ottimo, allora ti allego qualche problema se ti va di fare pratica con le ciclicità :wink: .
Sono tutti fattibili, livello Febbraio o forse qualcuno anche più difficile. (in ordine presunto di difficoltà, ma sono una frana a metterli in ordine)

Problema 1
Testo nascosto:
Dato un triangolo [math] dimostra che l’ortocentro [math] è l’incentro del triangolo ortico (ossia il triangolo formato dai piedi delle bisettrici.
Problema 2
Testo nascosto:
Date due circonferenze [math] di centri [math], supponiamo che esse si intersechino in due punti [math]. Tracciamo una retta [math] che interseca [math] in [math] e [math] in [math].
Le rette [math] e [math] si intersecano in [math]. Dimostrare che [math] sono conciclici.
Problema 3
Testo nascosto:
Sia Γ la circonferenza ex-inscritta al triangolo ABC opposta al vertice A. Sia [math] il centro di [math] e siano [math]rispettivamente, i punti di tangenza di Γ con i prolungamenti dei lati AB ed AC. Sia J l’intersezione tra i segmenti BD ed EF.
Dimostrare che l’angolo [math] è retto.

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Fenu
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da Fenu » 08 gen 2020, 19:21

Così, giusto perché il problema 1 me lo ricorda:
Sia $\bigtriangleup ABC$ un triangolo acutangolo e sia $AH$ altezza. Sia $K$ un punto su $AH$ e siano $X, Y$ le intersezioni di $CK, BK$ con $AB, AC$ rispettivamente. Dimostrare che $HK$ è bisettrice di $\angle XHY$.

Kopernik
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da Kopernik » 08 gen 2020, 20:40

Attenzione! In relazione al problema 1: il triangolo ortico (come dice il nome stesso) è formato dai piedi delle altezze e non dai piedi delle bisettrici.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

LudoP
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da LudoP » 09 gen 2020, 04:01

Testo nascosto:
Mattysal ha scritto:
08 gen 2020, 18:22

Problema 2
Testo nascosto:
Date due circonferenze [math] di centri [math], supponiamo che esse si intersechino in due punti [math]. Tracciamo una retta [math] passante per A che interseca [math] in [math] e [math] in [math].
Le rette [math] e [math] si intersecano in [math]. Dimostrare che [math] sono conciclici.

Mattysal
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da Mattysal » 12 gen 2020, 21:14

Sisi, vero
Scusate gli errori ma sono decisamente fuso in questo periodo :oops:

Mattysal
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Re: gara febbraio 2019

Messaggio da Mattysal » 12 gen 2020, 21:14

Mattysal ha scritto:
08 gen 2020, 18:22
vagnani ha scritto:
08 gen 2020, 18:01
Mattysal ha scritto:
05 gen 2020, 21:02


Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math].
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math].
Partiamo col dire che [math] è isoscele in quanto [math] e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math].
Segue che [math].
Ma [math] è isoscele quindi [math] è bisettrice di [math].
Notiamo che [math] ([math] è isoscele!} e quindi [math].\\
Segue quindi che [math] quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]

Edit: ho sbagliato un verbo :oops:
grazie mille. più chiaro rispetto alla soluzione proposta. più che altro insistevo sul cercare di dimostrare la presenza di angoli supplementari, e non sapevo che ci fossero altre condizioni per l'inscrivibilità di un quadrilatero.
Ottimo, allora ti allego qualche problema se ti va di fare pratica con le ciclicità :wink: .
Sono tutti fattibili, livello Febbraio o forse qualcuno anche più difficile. (in ordine presunto di difficoltà, ma sono una frana a metterli in ordine)

Problema 1
Testo nascosto:
Dato un triangolo [math] dimostra che l’ortocentro [math] è l’incentro del triangolo ortico (ossia il triangolo formato dai piedi delle altezze.)
Problema 2
Testo nascosto:
Date due circonferenze [math] di centri [math], supponiamo che esse si intersechino in due punti [math]. Tracciamo una retta [math] passante per A che interseca [math] in [math] e [math] in [math].
Le rette [math] e [math] si intersecano in [math]. Dimostrare che [math] sono conciclici.
Problema 3
Testo nascosto:
Sia Γ la circonferenza ex-inscritta al triangolo ABC opposta al vertice A. Sia [math] il centro di [math] e siano [math]rispettivamente, i punti di tangenza di Γ con i prolungamenti dei lati AB ed AC. Sia J l’intersezione tra i segmenti BD ed EF.
Dimostrare che l’angolo [math] è retto.

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