Gara di Febbraio 2014

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Kar06
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Iscritto il: 08 dic 2018, 13:07

Gara di Febbraio 2014

Messaggio da Kar06 » 16 dic 2018, 11:45

Salve!
Non riesco a completare la dimostrazione richiesta nell'esercizio 17 della Gara di Febbraio 2014.
Ecco il testo:
Trovare tutte le coppie [math] di numeri interi positivi tali che [math] sia un divisore di [math] e
[math] sia un divisore di [math].

La soluzione proposta è:
Testo nascosto:
17. Prima soluzione
Consideriamo [math]; dal momento che [math] divide [math] possiamo scrivere [math], con
[math] naturale. Riformuliamo la seconda condizione come [math], ovvero
[math] per qualche [math].
Supponiamo anzitutto che [math] sia positivo; se [math], allora h = 2; ne derivano le soluzioni del
tipo [math] dove k è intero positivo. Se invece kh < a, allora [math]; d’altra parte,
se [math] è positivo, deve aversi [math], il che èassurdo.
È chiaro che io abbia provato a svolgere il quesito da solo e abbia controllato la soluzione solo in seguito.
Posti
[math] e [math].


Dopo aver ricavato che [math], ho sostituito:
[math]
Da qui, ponendo [math] (Sappiamo già che [math], essendo il rapporto tra un polinomio positivo ed un numero naturale) e [math]
ho ottenuto la prima soluzione, poichè risulta che [math]. Ponendo [math] ho trovato l'altra soluzione.

Quello che non riesco a spiegarmi è come nella soluzione risulti [math] per [math] e [math] e da dove venga fuori la condizione
[math].

Grazie in anticipo.

FedeX333X
Messaggi: 52
Iscritto il: 04 giu 2017, 16:34

Re: Gara di Febbraio 2014

Messaggio da FedeX333X » 15 gen 2019, 12:26

Se fosse $0<kh<a,$ allora si ha $kh\leq a-1,$ e quindi $$a^2+a+2=kh(a+1)+h \leq (a-1)(a+1)+h=a^2-1+h.$$ Se leggi le disuguaglianze "al contrario"$,$ si deve avere $a^2-1+h\geq a^2+a+2\Rightarrow h\geq a+3.$ Ma allora$,$ dovrebbero valere contemporaneamente le disuguaglianze $0<kh<a$ e $kh\geq 1\cdot h \geq a+3,$ il che è chiaramente assurdo$.$

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