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Ma si puo dare come fatto noto il fatto che la somma dei divisori positivi di un certo numero n sia una funzione moltiplicativa?

Secondo me no

Non voglio aprire un topic apposito come per Algebra e Combinatoria, in quanto le domande vertono solamente sull'ottavo problema di TdN.
Mi manca ormai solamente geometria, e tra tutti i 12 problemi analizzati finora questo è probabilmente il re del dilemma sulle possibilità di dare per scontate alcune cose. Le elencherò tutte, alcune le ho già dimostrate nella trascrizione, altre non ancora: "l'equazione di secondo grado" nelle congruenze (formule analoghe ecc.: ho solo detto che la dimostrazione è analoga), il criterio di Eulero (dimostrato), il piccolo teorema di Fermat (non ancora dimostrato), esattamente metà dei numeri compresi tra 1 e q-1 sono residui quadratici (non ancora dimostrato, ma pare che sia un'informazione non davvero rilevante ai fini della risoluzione), la sommatoria al variare di x tra 0 e q-1 di un polinomio di grado al limite q-2 modulo q (il risolutore dice che se n'è parlato al winter camp: quale video dovrei consultare esattamente? Non ho nemmeno trovato il nome di tale teorema), la reciprocità quadratica (basta dire che esistono numerose celebri dimostrazioni di tale proprietà, molte delle quali di Gauss, senza doverne necessariamente riportarne una?), il simbolo di Legendre come funzione moltiplicativa (era mia intenzione dimostrarlo, oltre al piccolo teorema di Fermat e la sommatoria, in quest'ultimo caso con l'aiuto del winter camp).
Cosa potete consigliarmi al riguardo? Scusate eventuali mancanze, ho dovuto scrivere il tutto di fretta!

In generale tutto quello che ha un nome puoi usarlo senza dimostrarlo, a patto di scrivere per bene ipotesi e tesi (in generale sarebbe utile anche andare a guardarsi le dimostrazioni, anche se poi non le scrivi); in particolare reciprocità quadratica, Fermat e il criterio di Eulero (da cui deduci immediatamente la moltiplicatività del simbolo di Legendre) sono dati per buoni un po' ovunque.
Anche il resto sono cose piuttosto famose, ma per il Senior vanno scritte tutte per bene. Se non sai dove trovare delle dimostrazioni, invece dei video del Winter Camp (che sono altri esercizi) guarda i vecchi video del Senior Medium.
Infine, per il lemma del polinomio, c'è un topic recente che ti potrebbe interessare.

bananamaths ha scritto: ↑26 giu 2018, 12:41 Ma si puo dare come fatto noto il fatto che la somma dei divisori positivi di un certo numero n sia una funzione moltiplicativa?

L'obiettivo dell'ammissione al Senior è cercare di farvi familiarizzare con alcune tecniche e strumenti delle Olimpiadi. Se tu invece di chiederti "ma questo posso darlo per buono o no?" ti fossi chiesto "riesco a dimostrarlo?" oppure avessi chiesto a Google come si dimostra (cosa assolutamente lecita ed anzi incentivata), probabilmente a questo punto sul tuo file ci sarebbe già scritta la formula chiusa dalla quale è evidente che sia moltiplicativa.

Ma la formula di legendre per calcolare il massimo esponente di un primo in un fattoriale sarebbe da dimostrae?

bananamaths ha scritto: ↑26 giu 2018, 12:41 Ma si puo dare come fatto noto il fatto che la somma dei divisori positivi di un certo numero n sia una funzione moltiplicativa?

L'obiettivo dell'ammissione al Senior è cercare di farvi familiarizzare con alcune tecniche e strumenti delle Olimpiadi. Se tu invece di chiederti "ma questo posso darlo per buono o no?" ti fossi chiesto "riesco a dimostrarlo?" oppure avessi chiesto a Google come si dimostra (cosa assolutamente lecita ed anzi incentivata), probabilmente a questo punto sul tuo file ci sarebbe già scritta la formula chiusa dalla quale è evidente che sia moltiplicativa.

In teoria ho trovato un modo per dimostrarla solo che chiedevo se fosse necessario

All'interno del testo è possibile evitare di riportare i calcoli che vengono effettuati? Per esempio posso omettere una divisione tra polinomi o lo sviluppo e la semplificazione che mi porta a dire che $ n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n $?

Se vuoi convincere un lettore che $n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n$ non ti serve rifare la divisione --- basta che tu gli dica "fai il prodotto e verifica che torna". Non serve che tu scriva come sei arrivato a quella formula --- maree di conti, illuminazione improvvisa, copiato dal vicino di banco... E il prodotto in questo caso è così facile da fare che puoi anche darlo per scontato.

Vabbè, il prodotto era davvero uno casuale per rendere l'idea; sto cercando di essere quanto più meticoloso in tutto, ma speravo che almeno queste cose potessero essere evitate.

Allora, scrivere una dimostrazione è essenzialmente una forma di interazione tra esseri umani (l'unica, forse, per certi matematici ). Non scriviamo a un computer che verifica "a macchina" che tutti i passaggi tornano, ma per convincere i nostri lettori che è tutto corretto. Possiamo dare per scontato qualcosa quando siamo sicuri che i nostri lettori sappiano riempire i passaggi che restano, o verificare che i teoremi che usiamo esistono e sono usati correttamente. Quindi, in particolare, il livello di dettaglio dipende anche dal tuo target / ambiente. Se scrivi una dimostrazione per i tuoi compagni di classe, dovrai sicuramente scendere molto più nel dettaglio. Se scrivi per dei matematici professionisti, puoi dare per scontate cose che sarebbero un intero scritto di matematica in un esame di maturità.

Qui sostanzialmente immaginati che il pubblico siano i tuoi pari che partecipano al Senior. Siamo convinti che sappiano tutti fare la divisione tra polinomi? Direi di sì. Quindi basta scrivere "si fa la divisione tra polinomi, e viene $n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n$". Tutti i tuoi colleghi dovrebbero saper riempire i buchi in tempo ragionevole.

Se la dimostrazione dice "...e da qui si conclude con bunching e Schur", invece fai bene ad espandere un po', perché non siamo per nulla convinti che tutti i partecipanti a un senior sappiano bunching e Schur bene come la divisione tra polinomi. Puoi dare per scontato che, come te, si siano guardati una lezione e abbiano visto la definizione di $\sum_{\text{cyc}}$ (quindi non devi rispiegare tutta la teoria da zero come se fossi a una lezione), ma non che sappiano arrivare in fondo con il pilota automatico. (Magari anche perché siamo in un caso in cui il conto devi saperlo fare nel modo giusto perché non prenda cinque pagine).

Poi si trovano sicuramente un milione di esempi border-line in cui non è chiaro se la risposta è sì o no, ma essenzialmente l'idea guidante è questa.

(Ah, e: se al livello di dettaglio che ti sembra ragionevole la dimostrazione di un esercizio si riduce a due righe, magari poniti qualche dubbio e scrivi qualcosa in più.)

fph ha scritto: ↑28 giu 2018, 20:26 (Ah, e: se al livello di dettaglio che ti sembra ragionevole la dimostrazione di un esercizio si riduce a due righe, magari poniti qualche dubbio e scrivi qualcosa in più.)

Le ottime diofantee risolte con "non ha soluzione per Mihailescu"...

Se nel problema 2 di algebra del pre-imo 2017 si scompone [math]x^{12}+1 come una somma di cubi anziché utilizzando i polinomi ciclotomici si rischia di perdere punti?

Ovviamente no, puoi scomporlo come vuoi. La regola generale è che la dimostrazione deve solo essere completamente corretta!

Giacomo Calogero ha scritto: ↑03 lug 2018, 00:04 Se nel problema 2 di algebra del pre-imo 2017 si scompone [math]x^{12}+1 come una somma di cubi anziché utilizzando i polinomi ciclotomici si rischia di perdere punti?

anche io l ho diviso come somma di cubi perchè o se no mi usciva una cosa troppo lunga da scrivere.

Ma ogni numero reale può essere scritto come somma di potenze di due, perchè nell esercizio algebra 6 si dice che si possa come somma infinita solo che su internet non ho trovato nulla e poi non riesco a capire come sia possibile scrivere i reali sottoforma di potenze di 2?