Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018

Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
nobu
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Re: Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018

Messaggio da nobu » 13 nov 2017, 22:29

Ecco dunque gli esercizi dell'ultima sessione teorica di questi allenamenti EGMO: Teoria dei numeri. Il limite di tempo per l'invio degli esercizi è, come al solito, fra due settimane, cioè domenica 26 novembre alle 23.59.

Dopo quest'ultimo allenamento tematico ne seguirà uno "classico", cioè con un problema per ogni materia, che sarà effettivamente l'ultimo prima dell'EGMO Camp. Inoltre fra due settimane vi daremo informazioni più precise sullo stage e la relativa ammissione.

Buon lavoro e (speriamo) buon divertimento! :D

Attenzione: abbiamo fatto una correzione nel problema 4, che richiedeva una piccola ipotesi aggiuntiva. In particolare $a$ e $b$ devono essere entrambi strettamente maggiori di 1 (non solo $b$ come era scritto prima).
Allegati
AllenamentiEGMO2018-TeoriaDeiNumeri.pdf
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hermes97
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Re: Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018

Messaggio da hermes97 » 18 nov 2017, 21:44

Soluzione alternativa al problema 4 di Geometria:
Testo nascosto:
Siano $\omega_1$ e $\omega_2$ le circonferenze circoscritte rispettivamente a $DBM$ e a $CDM$, e sia $\Gamma$ la circonferenza di centro $M$ e raggio $BM$. Detto $E=\omega_1\cap\Gamma$ si ha $BM=EM$, dunque $\angle MBE=\angle BEM=\angle ABC$. Analogamente, detto $F=\omega_2\cap\Gamma$, $\angle FCM=\angle BCA$. Gli assi radicali di $\Gamma$ e $\omega_1$, $\omega_1$ e $\omega_2$, $\omega_2$ e $\Gamma$, ossia $BE$, $MD$ e $CF$, concorrono nel punto $A'$. Poiché $\angle CBA'=\angle ABC$ e $\angle A'CB=\angle BCA$, $A'$ è il simmetrico di $A$ rispetto a $BC$, dunque $A'M$ è simmetrica di $AM$ rispetto a $BC$. Pertanto, poiché $D\in AM$, il suo simmetrico $D'$ appartiene alla mediana $AM$.

Si può fare una dimostrazione analoga usando un'inversione di centro $M$ e raggio $BM$ più una simmetria assiale rispetto a $BC$, e mostrando che scambia le rette $AB$ e $AC$ con le circonferenze $\omega_1$ e $\omega_2$ rispettivamente. Un modo per osservare questo fatto è il seguente:
Siano $O$ il centro di $\omega_1$ e $O'$ il suo simmetrico rispetto a $BC$. L'inversione manda $\omega_1$ in una retta passante per $B$ e ortogonale a $MO$, dunque l'inversione+simmetria la manda in una retta $r$ passante per $B$ e ortogonale a $MO'$. Ma $BOMO'$ è un rombo, dunque $MO'$ è parallelo a $BO$, che a sua volta è ortogonale ad $AB$ per tangenza. $r$ passa per $B$ ed è parallela ad $AB$, dunque le due rette coincidono.

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Lasker
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Re: Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018

Messaggio da Lasker » 19 nov 2017, 01:22

Io ho trovato una soluzione ancora diversa di $G4$, anche se si gira sempre attorno alle stesse cose
Testo nascosto:
Caratterizzare $D$ come intersezione di circoscritta e $\odot AOM$ (entrambe le ciclicità sono facili per angle chasing) + Inversione nella circoscritta+lemma della simmediana per mostrare che $AD$ è simmediana di $ABC$ e da qui è facile ottenere la tesi in qualsiasi modo
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

nobu
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Re: Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018

Messaggio da nobu » 19 nov 2017, 21:57

Grande pareggio in testa per l'allenamento di Geometria. Ben 6 ragazze infatti hanno fatto punteggio pieno!
In particolare stiamo parlando di Benassi Giorgia, Bevilacqua Maria, Botticchio Sabrina, Issini Letizia, Ricciuti Maria Chiara e Ulivi Anna.

I problemi erano facili? Siamo correttrici troppo buone? O state diventando più brave? :D

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