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Cioè, tu stai chiedendo questo: ABCD non intrecciato, $\angle ACB=\angle ADB$, allora ABCD ciclico?
Intanto, la definizione di quadrilatero ciclico è che i vertici stanno su una circonferenza.
Poi, vi sono due classici criteri di ciclicità per angoli:
ABCD non intrecciato è ciclico sse angoli opposti sono supplementari
ABCD non intrecciato è ciclico sse vertici consecutivi vedono il lato definito dagli altri due sotto lo stesso angolo
e due classici criteri di ciclicità con lunghezze:
ABCD è ciclico sse $AP\cdot PC= BP\cdot PD$ con $P$ l'intersezione di $AC$ e $BD$ (o qualsiasi altra coppia, permutando le lettere)
ABCD è ciclico sse $AB\cdot DC + AD\cdot BC=AC\cdot BD$.

Btw, è semplicissimo mostrare che i primi tre sono equivalenti: se $A$ e $B$ vedono $CD$ sotto lo stesso angolo, i triangoli $APD$ e $BPC$ sono simili ($P=AC\cap BD$), da questo segue $AP\cdot PC=BP\cdot PD$, da cui segue che anche $ABP$ e $CDP$ sono simili e dunque con angle chasing segue che, ad esempio gli angoli in $A$ e $C$ sono supplementari; questo fatto d'altra parte implica che, detta $Q$ l'intersezione di $AD$ e $BC$, si abbia $ABQ$ e $CDQ$ simili, da cui (via lati) $ACQ$ e $BDQ$ simili, da cui $A$ e $B$ vedono $CD$ sotto lo stesso angolo (angle chasing).

Grazie molte per le Sue risposte.
$ABCD$ ciclico sse $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ è esattamente ciò che intendevo io.
La dimostrazione che io proponevo era la seguente:
Suppongo $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$.
Suppongo che $D$ non giaccia sulla circonferenza $\Gamma$ passante per $A,B,C$.
Se $D$ è esterno, la diagonale $BD$ incontrerà $\Gamma$ nel punto $D_{1}$. Poiché angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda, $\widehat{AD_{1}B}=\widehat{ACB}$. Inoltre $\widehat{AD_{1}}B$ è angolo esterno rispetto a $\triangle AD_{1}D$.
Quindi $\widehat{AD_{1}B}=\widehat{ADB}+\widehat{D_{1}AD}>\widehat{ADB}$.
Ma per ipotesi $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$. Assurdo. Quindi $A,B,C,D$ giacciono sulla stessa circonferenza.
Il caso $D$ interno lo risolvo in modo analogo.
Grazie ancora.

Domanda: le figure nei problemi di geometria sono realmente indispensabili? In altre parole, se non le metto, quanti punti perdo?

Per calcolare le coordinate baricentriche del punto di Nagel si può dare per scontato il passaggio per calcolare le misure delle distanze vertice del triangolo-punto di tangenza dell'ex-cerchio? E' vero che sono due conti ed è una cosa che viene spiegata al basic, ma vorrei sapere se è una proprietà che bisogna dimostrare tutte le volte o la si può dare per nota.
Graie.

In G6 quando calcolo tutti i punti di un certo tipo, per esempio $A',B',C'$ o i punti di tangenza dell'incerchio o quelli degli ex-cerchi, può andar bene calcolarne uno e per gli atri dire che lo cose sono analoghe e non rifare tutti i passaggi?
Le coordinate dell'incentro, che ho visto vengono calcolate al medium, posso darle per note o sono comunque da ricalcolare?
In generale in un problema di geometria se devo dimostrare un uguaglianza tra angoli, archi o altro e il procedimento è esattamente lo stesso si può dire che i casi sono analoghi ed evitare di riscrivere tutta la dimostrazione (che sarebbe copiare ed incollare quella precedente e cambiare le lettere siccome le due dimostrazioni sono l'una la fotocopia dell'altra)?
Grazie

alegh ha scritto:In G6 quando calcolo tutti i punti di un certo tipo, per esempio $A',B',C'$ o i punti di tangenza dell'incerchio o quelli degli ex-cerchi, può andar bene calcolarne uno e per gli atri dire che lo cose sono analoghe e non rifare tutti i passaggi?
Le coordinate dell'incentro, che ho visto vengono calcolate al medium, posso darle per note o sono comunque da ricalcolare?
In generale in un problema di geometria se devo dimostrare un uguaglianza tra angoli, archi o altro e il procedimento è esattamente lo stesso si può dire che i casi sono analoghi ed evitare di riscrivere tutta la dimostrazione (che sarebbe copiare ed incollare quella precedente e cambiare le lettere siccome le due dimostrazioni sono l'una la fotocopia dell'altra)?
Grazie

Io ho fatto così, anche perché la dimostrazione altrimenti diventa ripetitiva e si rischia di dimenticarsi di correggere qualcosa magari. L'importante è mettere i conti giusti finali/ciclare bene le variabili

Comunque per andare un po OT e non pensare agli ultimi due problemi che devo texare volevo far notare che il post del senior dell'anno scorso al giorno 17 Luglio aveva già 25 pagine

Ho ancora una (e spero ultima) domanda per i miei colleghi: in C6, sbaglio o la soluzione per i primi 2 casi funziona senza introdurre il multi grafo?
Grazie

Avrei un dubbio su A8.
Non riesco a capire, a pagina 5 del PDF, come si riesce a ottenere la relazione tra i tre termini consecutivi della funzione, perché provando a sommare tra loro le equazioni e anche modificando i valori restano comunque dei termini scomodi che danno problemi.

Talete ha scritto:Domanda: le figure nei problemi di geometria sono realmente indispensabili? In altre parole, se non le metto, quanti punti perdo?

Dai insomma rispondete, ché ho finito tutti i problemi ma non ho fatto i disegni che sono la cosa piú difficile e tediosa; io spedirei molto volentieri senza disegni ma se poi non vengo ammesso allo stage nonostante la potenziale spesatura solo a causa dei disegni, beh un po' di rimorso mi viene.

No, che io sappia non sono indispensabili, controlla però di aver definito bene la notazione che usi!!

Possiamo dare per scontato come si calcola il limite di una frazione in cui numeratore e denominatore sono polinomi dello stesso grado e la variabile in cui è scritto il polinomio tende all'infinito? Chiedo perché non è nel programma olimpico ma viene insegnato anche a scuola.
Grazie

alegh ha scritto:Possiamo dare per scontato come si calcola il limite di una frazione in cui numeratore e denominatore sono polinomi dello stesso grado e la variabile in cui è scritto il polinomio tende all'infinito? Chiedo perché non è nel programma olimpico ma viene insegnato anche a scuola.
Grazie

Se proprio vi serve di calcolare tale limite, sì. Basta che sia tutto scritto come Analisi comanda.

Talete ha scritto:

Talete ha scritto:Domanda: le figure nei problemi di geometria sono realmente indispensabili? In altre parole, se non le metto, quanti punti perdo?

Dai insomma rispondete, ché ho finito tutti i problemi ma non ho fatto i disegni che sono la cosa piú difficile e tediosa; io spedirei molto volentieri senza disegni ma se poi non vengo ammesso allo stage nonostante la potenziale spesatura solo a causa dei disegni, beh un po' di rimorso mi viene.

Hai un solo modo per scoprirlo, e nel caso la risposta non fosse quella che vorresti non sarebbe una piacevole notizia, non credi?

Ma per curiosità... Come le metti su LaTeX le figure tu? Perché io in tutto ci metterò forse 20 minuti ogni figura

Io uso TiKZ e mi trovo molto bene, ci mette meno tempo rispetto al caricare immagini con includegraphics. Se vuoi dare un'occhiata, era già stato sponsorizzato qui. Se ci prendi un po' di mano, dopo aver copiato il codice da Geogebra puoi anche modificare la figura direttamente con LaTeX (spostare punti, cambiare colori, e poi cose più complesse se hai voglia di impararle )