OliForum Matematico

alegh ha scritto:Viene detto che il simbolo $\wedge$ indica il minimo tra i due ma il fatto è che io non sono pratico nemmeno con il simbolo $inf$ e quindi ho tentato di rielaborare il tutto in un modo che mi fosse chiaro per essere certo di aver compreso la dimostrazione.

Inf è tipo min ... E se c'è un numero finito di valori o comunque un insieme discreto di valori (ad esempio un sottoinsieme degli interi), inf=min.

Per le domande sul cosa poter usare e cosa no, al solito, come è già stato detto,
M --> si da per buono il senior basic
P --> si da per buono il senior medium
W --> lo dovreste sapere da voi cosa potete dar per buono (quello che viene accettato in sede di correzione internazionale).

Quindi, prima di chiedere, spulciatevi le relative lezioni dei senior passati (i pdf) per vedere se quelle cose sono state fatte nel livello opportuno.

fph ha scritto:L'$\inf$ di un insieme vuoto, per definizione, vale $+\infty$

... e anche su questo potremmo discutere a lungo, ma diventeremmo OT.

Questo messaggio è un po' per tutti e un po' per una sola persona, che però non ho altro modo di contattare.

Se il sito per mandare gli esercizi vi sembra non funzionare (ad esempio non vi arriva il codice), potrebbe essere che avete inserito un indirizzo di posta elettronica sbagliato.

Manca il video del WC16 di miscellanea

Ciuffo ha scritto:Manca il video del WC16 di miscellanea

è venuto senza audio per un problema di microfono , e così senza audio non ha il fascino dei vecchi film muti

Avrei alcuni dubbi su A7:
1) Dopo aver ottenuto $f(\omega x)^{n}=f(x)^{n}$, ottengo $f(\omega x)=\omega^{i(x)}f(x)$. Moltiplicare $f(x)$ per $\omega^{i(x)}$ serve per eliminare eventuali differenze di segno dovute all'estrazione di radice e alla presenza di $\omega$ nell'altro polinomio o sono fuori strada?
2)Nel primo caso, quello con $\overline{i}\neq 0$, si ottiene $f(x)=x^{\overline{i}}g(x^{n})$: se $deg(f(x))=k$ e $k\leq n$, $g(x^{n})$ è un polinomio costante. E' corretto?
3) nel primo caso si ottiene $f(x)=x^{\overline{i}}g(x^{n})$ mentre nel secondo $g(y-1)=y^{\overline{j}}g(j^{n})$. Credo che sia perché in $(\omega y-1)^{n}$ ci potrebbe essere un monomio $\alpha\omega^{i}y^{i}$ in cui $i$ non è congruo a $\overline{j}$ modulo $n$ e per ciò per rispettare l'uguaglianza in $g(y-1)$ ci dovrà essere un monomio $-\alpha\omega^{i}y^{i}$.
4) nel caso le spiegazioni dei punti fossero/ le ritenessi (in caso di mancata risposta) corrette, sono "ovvie" o rendono più completa la dimostrazione?

So che è compito mio capire e scrivere le soluzioni per bene, quindi chiedo scusa se queste domande non fossero lecite.

Grazie comunque.

Avrei una domanda, che probabilmente sarà banale ma avendo qualche dubbio la pongo comunque.
Può essere accettata come definizione di circonferenza la seguente: "fissati due punti, il luogo geometrico formato da tali punti, dai punti giacenti in uno dei due semipiani individuati della retta passante per i due punti fissati e corrispondenti ai vertici degli angoli di ampiezza $k$ i cui lati passano uno per uno dei due punti fissati e l'altro per l'altro punto fissato, e dai punti giacenti nell'altro semipiano e corrispondenti ai vertici degli angoli di ampiezza $180^{\circ}-k$ i cui lati passano uno per uno dei due punti fissati e l'altro per l'altro punto fissato, è una circonferenza".
Quindi se io ho due angoli uguali, posso dire che il luogo dei punti individuato dai loro vertici e dai punti di intersezione dei loro lati è un quadrilatero ciclico.
E' corretto?

Non so se lo accetteranno i correttori, ma per la prima parte non trovo errori. Per la seconda parte, invece, per avere ragione devi avere che entrambi i vertici siano esterni all'altro angolo, ma a questo punto ti basta usare l'inverso del teorema per cui angoli alla circonferenza che insistono su corde congruenti (in questo caso la stessa) sono congruenti.

Innanzitutto grazie per avermi risposto.
Effettivamente il secondo punto suona un po' falso: sarebbe come dire che ogni rombo è ciclico.
Però se io ho due angoli congruenti i cui vertici stanno in uno stesso semipiano individuato dalla retta passante per i punti di intersezione dei loro lati, allora i vertici di questi due angoli ed i due punti d intersezione giacciono su una stessa circonferenza e quindi formano un quadrilatero ciclico.
Credo che così possa andare (forse è ciò che hai scritto te, solo in maniera differente). Cosa ne dici?

Sì, è praticamente la stessa cosa se dici bene quali dei 4 punti di intersezione stai considerando (non a me, nella scrittura)

Avrei un dubbio su A8 e per questo mi rivolgo soprattutto ai miei colleghi:
quando viene dimostrato che $f(-1)$ non può essere uguale a $1$ non dovrebbe essere scelto $x=4$ o $x=5$ anziché $x=3$?
Inoltre si accenna al fatto che per dimostrare che la funzione che sugli interi fa alternatamente $1,-1,0,\dots$ non funziona si deve passare dagli interi ai razionali, ma poi non viene fatto appunto scegliendo $x$ congruo a un determinato valore (mod $n$)?
Grazie per ogni risposta.
P.S. per i miei colleghi rinnovo i dubbi su A7 di alcuni post fa. Grazie di nuovo.
P.P.S. è possibile sapere se la definizione di circonferenza che ho dato in qualche post fa per determinare se un quadrilatero è ciclico evitando di usare il criterio della somma delle ampiezze degli angoli opposti può essere accettata in sede di correzione? Grazie ancora.

Se io ho l'equazione $f(x)=kx$ con $k$ intero fissato e cerco soluzioni $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$, posso dire che per $k$ pari $f(x)$ è iniettiva ma non suriettiva mentre se $k$ è dispari $f(x)$ è sia iniettiva che suriettiva?
Grazie, scusate se la domanda è banale

Non è suriettiva. Se $k=3$, ad esempio $f(x) \neq 2 \ \forall x \in \mathbb {Z} $

alegh ha scritto: P.P.S. è possibile sapere se la definizione di circonferenza che ho dato in qualche post fa per determinare se un quadrilatero è ciclico evitando di usare il criterio della somma delle ampiezze degli angoli opposti può essere accettata in sede di correzione? Grazie ancora.

La definizione di circonferenza e la definizione di quadrilatero ciclico sono date e non aperte a discussione. Vi sono svariati criteri di ciclicità di cui il solutore può avvalersi.
Se il tuo è tale, dovrebbe esserci una dimostrazione che prova che funziona.
Se tale dimostrazione è breve ed ovvia, allora in pratica potresti usare un qualunque altro criterio.
Se tale dimostrazione non è breve ed ovvia, forse è meglio scriverla.

Grazie per avermi risposto.
Il criterio da me usato è il seguente: un quadrilatero è ciclico se un suo lato sottende angoli congruenti in vertici opposti.
La definizione di circonferenza da me presentata, che riporto in fondo al post, serve per giustificare l'affermazione di cui sopra. Credo esistano molteplici dimostrazione, per esempio mi sembra che sia possibile farlo per assurdo.
Tale criterio non l'ho visto durante gli studi scolastici di geometria euclidea, però non essendo fatto al basic e conoscendolo perfino io mi domandavo se non fosse un fatto che potesse essere tranquillamente dato per noto.
Grazie ancora per ogni risposta, e chiedo scusa se non mi fossi accorto che la risposta si trova nel Suo precedente post.

alegh ha scritto: fissati due punti, il luogo geometrico formato da tali punti, dai punti giacenti in uno dei due semipiani individuati della retta passante per i due punti fissati e corrispondenti ai vertici degli angoli di ampiezza $k$ i cui lati passano uno per uno dei due punti fissati e l'altro per l'altro punto fissato, e dai punti giacenti nell'altro semipiano e corrispondenti ai vertici degli angoli di ampiezza $180-k$ i cui lati passano uno per uno dei due punti fissati e l'altro per l'altro punto fissato, è una circonferenza