Senior 2016

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Vinci
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Re: Senior 2016

Messaggio da Vinci » 15 giu 2016, 09:26

Domanda: nella risoluzione dell'esercizio 8 di geometria del pomeriggio del PreIMO viene usato quello che credo sia l'inverso del teorema delle due corde, per dimostrare che dei quadrilateri sono ciclici. Non trovando questo teorema enunciato da nessuna parte,volevo chiedere, devo dimostrarlo o posso darlo per scontato? Nella soluzione lo danno per scontato. Se è un teorema esistente, e posso usarlo, mi dareste l'enunciato preciso?

Talete
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Re: Senior 2016

Messaggio da Talete » 15 giu 2016, 10:55

Mah, supponendo che quello che tu chiami "teorema delle due corde" abbia a che fare con la potenza di un punto rispetto alla circonferenza, io ti direi questo: l'inverso del teorema è una cosa tipo
"Se ci sono quattro punti $A$, $B$, $C$, $D$, e i segmenti $AC$ e $BD$ si intersecano in $P$, e si ha che
\[AP\cdot CP=BP\cdot DP,\]allora $ABCD$ è ciclico."
La dimostrazione di questo teorema è semplice: consideriamo la circonferenza $\Gamma$ passante per $A$, $B$ e $C$... allora chiamando $E$ la seconda intersezione di $BP$ con $\Gamma$, si dovrebbe avere che
\[AP\cdot CP=BP\cdot EP,\]dunque $D$ ed $E$ stanno sulla stessa retta e alla stessa distanza da $P$, e sono entrambi dalla stessa parte della retta rispetto a $P$ (infatti sono dalla parte opposta di $B$), allora coincidono.

La dimostrazione sono queste due righe qua, e puoi anche evitarla perché praticamente gli inversi dei teoremi di geometria che riguardano allineamenti etc si fanno tutti così. Solitamente in geometria i teoremi delle due corde, delle due secanti e della secante e della tangente, e tutti i loro inversi, si raggruppano sotto il nome di "proprietà delle potenze di un punto rispetto alla circonferenza".

Il fatto è semplice: dato un punto $P$ e una circonferenza $\Gamma$ di centro $O$ e raggio $r$, si definisce la potenza di $P$ rispetto a $\Gamma$ come
\[\mathrm{pow}_{\Gamma}(P):=OP^2-r^2.\]In particolare, se $P$ appartiene a $\Gamma$ la sua potenza è nulla, se $P$ è esterno a $\Gamma$ la sua potenza è positiva e se $P$ è interno a $\Gamma$ la sua potenza è negativa.

Il teorema delle due corde diventa questo: dato un punto $P$ interno ad una circonferenza $\Gamma$, e data una corda $AC$ passante per $P$, allora si ha che
\[|\mathrm{pow}_{\Gamma}(P)|=|AP\cdot CP|.\]Ho messo i valori assoluti perché con i segni delle potenze si fa sempre un po' di confusione, comunque tanto basta ricordarsi che se $P$ è interno a $\Gamma$ la potenza è negativa per aggiustare i segni in un secondo momento. Capisci perché da questa proprietà si arriva al teorema delle due corde?

Anche il teorema delle due secanti e quello della secante e della tangente si scrivono allo stesso modo come proprietà della potenza di un punto, e allo stesso modo anche i loro inversi. Non volevo scrivere così tanto, me ne scuso, però sono partito in quarta a scrivere roba, anche imprecisa e poco utile, al riguardo. Allora ti rimando ai video G3 del basic degli Stage Senior, che ti spiegheranno molto meglio tutto questo.
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Re: Senior 2016

Messaggio da EvaristeG » 15 giu 2016, 16:15

Giusto per chiarire: chi deve fare i problemi del Winter, deve farne 16, di cui almeno 3 per materia. Miscellanea non esiste: viene riassorbita nelle altre 3 materie coinvolte.

Vinci
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Re: Senior 2016

Messaggio da Vinci » 15 giu 2016, 18:43

Per chi deve fare i problemi del pomeriggio del PreIMO , ed in algebra deve farne due della mattina, scrive comunque "PreImo - P" alla voce tipo di esercizi?

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karlosson_sul_tetto
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Re: Senior 2016

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 15 giu 2016, 20:47

Poco importa come li chiami, l'importante è che si capisca che sia Algebra e che siano quelli giusti.
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Re: Senior 2016

Messaggio da Enigmatico » 15 giu 2016, 22:54

EvaristeG ha scritto:Due comunicazioni aggiuntive:

- al momento della presentazione della domanda come volontari, dovrete scegliere la "gara" in base al tipo di esercizi che state consegnando (Mattina PreIMO15 / Pomeriggio PreIMO15 / WinterCamp16)
Perdona la mia idiozia, ma in che senso dobbiamo scegliere una "gara"?

Poi, rilancio la domanda fatta qualche giorno fa...
In N5 si dà come fatto noto il lemma sui non quadrati mod p dispari, va dimostrato? (Lo chiedo perché nel video viene data solo una dimostrazione parziale).

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Re: Senior 2016

Messaggio da EvaristeG » 16 giu 2016, 11:39

Capirete quando sarà il momento.
Una dimostrazione parziale va completata.

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Re: Senior 2016

Messaggio da Vinci » 16 giu 2016, 13:36

Nel problema G6 degli esercizi del PreIMO pomeriggio, quali di queste cose possiamo dare per scontate e quali invece dobbiamo dimostrare?
1) Ogni retta del piano si scrive come $ax+by+cz$ per opportuni $a,b$ e $c$
2) Le due rette $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z$ e $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z$ si incontrano nel punto:
$$\left[ \begin {vmatrix}b_{1} & c_{1} \\b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}: -\begin {vmatrix}a_{1} & c_{1} \\a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}: \begin {vmatrix}a_{1} & b_{1} \\a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right]$$ dove $\begin {vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}=ac-bd$ è il determinante della matrice.
3) Dati $\left[ p_{1}:q_{1}:r_{1}\right]$ e $\left[ p_{2}:q_{2}:r_{2}\right]$ due punti, la retta su cui giacciono è
$$ \begin {vmatrix}q_{1} & r_{1} \\q_{2} & r_{2} \end{vmatrix}x -\begin {vmatrix}p_{1} & r_{1} \\p_{2} & r_{2} \end{vmatrix}y+ \begin {vmatrix}p_{1} & q_{1} \\p_{2} & q_{2} \end{vmatrix}z=0$$
Ed infine 4) I punti $\left[ p_{1}:q_{1}:r_{1}\right]$, $\left[ p_{2}:q_{2}:r_{2}\right]$ e $\left[ p_{3}:q_{3}:r_{3}\right]$ sono ALLINEATI se e soltanto se
$$ \begin {vmatrix}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3} \end{vmatrix}=0$$ dove $ \begin {vmatrix}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3} \end{vmatrix}$ è il determinante della matrice.
In particolare, se quest' ultimo punto si deve dimostrare nella soluzione, potreste indicarmi dove posso trovare la dimostrazione? La ho cercata, ma non sono riuscito a trovarla. E' nei video di un senior in particolare?

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Re: Senior 2016

Messaggio da darkcrystal » 16 giu 2016, 13:50

Enigmatico ha scritto:In N5 si dà come fatto noto il lemma sui non quadrati mod p dispari, va dimostrato?
Io direi decisamente di sì, va dimostrato! E' un fatto lungi dall'essere ovvio, e supposto quello l'esercizio diventa quasi banale. In più, a giudicare dalle tue domande, mi sembra che ti farebbe bene provare a dimostrarlo :wink:
In quanto invece al simbolo di Legendre, non c'è bisogno di particolari introduzioni, chi corregge sa di cosa stai parlando! Il che non vuol dire ovviamente che sia *vietato* ridefinirlo, ma nemmeno mi sembra essenziale.

Buon lavoro!
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Re: Senior 2016

Messaggio da degas » 22 giu 2016, 15:11

Vinci ha scritto:Nel problema G6 degli esercizi del PreIMO pomeriggio, quali di queste cose possiamo dare per scontate e quali invece dobbiamo dimostrare?
1) Ogni retta del piano si scrive come $ax+by+cz$ per opportuni $a,b$ e $c$
2) Le due rette $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z$ e $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z$ si incontrano nel punto:
$$\left[ \begin {vmatrix}b_{1} & c_{1} \\b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}: -\begin {vmatrix}a_{1} & c_{1} \\a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}: \begin {vmatrix}a_{1} & b_{1} \\a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right]$$ dove $\begin {vmatrix}a & b \\c & d \end{vmatrix}=ac-bd$ è il determinante della matrice.
3) Dati $\left[ p_{1}:q_{1}:r_{1}\right]$ e $\left[ p_{2}:q_{2}:r_{2}\right]$ due punti, la retta su cui giacciono è
$$ \begin {vmatrix}q_{1} & r_{1} \\q_{2} & r_{2} \end{vmatrix}x -\begin {vmatrix}p_{1} & r_{1} \\p_{2} & r_{2} \end{vmatrix}y+ \begin {vmatrix}p_{1} & q_{1} \\p_{2} & q_{2} \end{vmatrix}z=0$$
Ed infine 4) I punti $\left[ p_{1}:q_{1}:r_{1}\right]$, $\left[ p_{2}:q_{2}:r_{2}\right]$ e $\left[ p_{3}:q_{3}:r_{3}\right]$ sono ALLINEATI se e soltanto se
$$ \begin {vmatrix}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3} \end{vmatrix}=0$$ dove $ \begin {vmatrix}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3} \end{vmatrix}$ è il determinante della matrice.
In particolare, se quest' ultimo punto si deve dimostrare nella soluzione, potreste indicarmi dove posso trovare la dimostrazione? La ho cercata, ma non sono riuscito a trovarla. E' nei video di un senior in particolare?
Mi aggiungo a questa domanda, perchè già scrivendo tutti i calcoli la soluzione viene lunga, con anche queste quattro dimostrazioni ancora di più :wink:

alegh
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Re: Senior 2016

Messaggio da alegh » 22 giu 2016, 16:24

Avrei una domanda per A3: viene definito il bound $k_{h}=inf\{i:a_{i}\geq h\}\wedge(n+1)$. Non ho mai utilizzato una definizione di questo tipo. Se io la scrivessi senza spiegazioni a "parole" come "verrebbe letta"? (i simboli $\wedge$ e $\vee$ mi sembrano diversi da $et$ e $vel$ usati in logica ma sono gli unici simboli simili che conosco: sono proprio li stessi o no?)
La definizione scritta sopra è equivalente a
\[
k_{h}=
\begin{cases}
i:i=min\{1,2,\dots,n\}:a_{i}\geq h \qquad \text{se $\exists i:a_{i}\geq h$}\\
n+1 \qquad \text{se $\nexists i\in\mathbb{N}:a_{i}\geq h$}
\end{cases}
\]
?

fph
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Re: Senior 2016

Messaggio da fph » 22 giu 2016, 17:10

Non ho rivisto il video, ma direi che la tua ri-definizione è esatta. $a \wedge b$ è una notazione alternativa per $\min(A,B)$, che piace soprattutto ai probabilisti (tipo Morandin). L'$\inf$ di un insieme vuoto, per definizione, vale $+\infty$, quindi se l'insieme è vuoto stai facendo $\min(+\infty,n+1)=n+1$, mentre se è pieno (si dirà così?) allora (chiamando $A$ quell'inf) $A \leq n$ e quindi $\min(A,n+1)=A$.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Re: Senior 2016

Messaggio da alegh » 22 giu 2016, 20:17

Grazie per avermi risposto.
Posso scrivere una qualsiasi delle due definizioni o quella del video è migliore/più formale?

fph
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Re: Senior 2016

Messaggio da fph » 22 giu 2016, 20:42

Vanno bene tutte e due. Anzi, personalmente non avrei usato $\wedge$ senza spiegare cos'è, probabilmente l'ha fatto senza pensarci perché è una notazione che gli viene naturale. Puoi anche usare la tua ma scrivendo proprio "altrimenti" nella seconda riga della parentesi graffa, oppure funziona anche $\min (\{i:a_i\geq h\} \cup \{n+1\})$. Insomma, basta che si capisca. :)
--federico
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Re: Senior 2016

Messaggio da alegh » 22 giu 2016, 20:58

Viene detto che il simbolo $\wedge$ indica il minimo tra i due ma il fatto è che io non sono pratico nemmeno con il simbolo $inf$ e quindi ho tentato di rielaborare il tutto in un modo che mi fosse chiaro per essere certo di aver compreso la dimostrazione.

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