OliForum Matematico

Centro il compasso in $A$ con raggio $p$ (posso perché in teoria posso trovare il punto $M$, punto medio di $X$ e $Y$ e prendere come raggio $XM$).
Chiamo $E$ su $r$ ed $F$ su $s$ le intersezioni di questa compassata con le due semirette date.
Traccio la perpendicolare ad $r$ per $E$ e la perpendicolare ad $s$ per $F$, che si incontrano in un punto $O$.
Centro il compasso in $O$ con raggio $OE$ per tracciare una circonferenza $\mathcal C$. Noto che $F\in \mathcal C$ perché i triangoli $AEO$ ed $AFO$ sono simili.
Traccio la tangente $t$ a $\mathcal C$ passante per $P$ più vicina ad $A$ (collego $P$ ed $O$, chiamo $N$ il punto medio di $OP$, faccio la circonferenza per $O$ e $P$ con centro $N$ e prendo un'intersezione $T$ con $\mathcal C$ da cui traccio la tangente).
Chiamo $B$ l'intersezione di $t$ ed $r$ e $C$ l'intersezione di $t$ ed $s$.
Si ha che
\[AB+BC+CA=AB+BT+TC+CA=AB+BF+EC+CA=AF+EA=p+p=2p.\]
Ecco qua (come mi ricordo dall'anno scorso, in teoria. All'inizio è strano ragionare "con riga e compasso", ma poi ci si prende l'abitudine forse )