Senior 2015

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Edoardo97
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Re: Senior 2015

Messaggio da Edoardo97 » 12 lug 2015, 11:53

Ciao a tutti, nel video dell'A8 manca la dimostrazione per cui la funzione per cui f(1)=f(2)=1 è unica o sbaglio? Se manca, come lo dimostro?

EvaristeG
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Re: Senior 2015

Messaggio da EvaristeG » 12 lug 2015, 12:11

Edoardo97 ha scritto:Ciao a tutti, nel video dell'A8 manca la dimostrazione per cui la funzione per cui f(1)=f(2)=1 è unica o sbaglio? Se manca, come lo dimostro?
fph ha scritto: Potete variare quanto volete le soluzioni proposte, purché rimangano giuste (oppure, se hanno qualche baco: dovete variare le soluzioni proposte, affinché diventino giuste :p). Capire cosa è giusto e cosa no è parte del lavoro che vi si richiede. Anzi, è la maggior parte del lavoro che vi si richiede, tenendo conto che i problemi non dovete risolverli da zero. :)
(questo per dirti che non riceverai da noi risposta ufficiale :) )

alegh
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Re: Senior 2015

Messaggio da alegh » 12 lug 2015, 13:19

EvaristeG ha scritto:1 - visto che quel polinomio è unico, che differenza ravvisi tra quello e quello di Lagrange?
2 - ne ha una e si fa penso tra le elementari e le medie: x^nx^m=x^{n+m}
.
Per prima cosa voglio scusarmi per la sciocca domanda posta al secondo punto: appena spento il computer mi sono reso conto dell'errore commesso nel porgere una tale domanda, quindi scusate.
Per il primo punto: nel pdf preIMO 2014 vengono elecati tre metodi: matrice di Vandermonde, polinomio di Lagrange e metodo con le mani. In un post di qualche tempo fa viene detto che i primi due metodi non vengono utilizzati perchè troppo laboriosi in questo caso. Ho cercato quindi di capire quale fosse il terzo metodo che viene usato anche nel video preIMO 2008 di algebra pomeriggio. Credo sia stato utilizzato il polinomio di Newton. Quindi la mia domanda riguarda il metodo utilizzato per la costruzione, considerando che costruito il polinomio poi è molto semplice giungere al binomio di Newton e proseguire la dimostrazione. D'altro canto in un post precedente avevo letto che era lecito scrivere quel polinomio e semplicemente verificare che soddisfa le condizioni. Da qui i miei dubbi non sul polinomio finale ma sul come l'abbiamo ottenuto:
-bisogna indicare come l'abbiamo trovato? Nel caso del polinomio di Newton occorre una digressione di teoria sul calcolo alle differenze finite in caso non sia abbiano progressioni arimetiche per poi giungere al caso particolere del problema?
Grazie.
Ultima modifica di alegh il 12 lug 2015, 13:40, modificato 1 volta in totale.

rizzo-5
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Re: Senior 2015

Messaggio da rizzo-5 » 12 lug 2015, 13:32

Il lemma di Gauss in teoria dei numeri $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^s$ si può dare per fatto per i problemi del pomeriggio?

EvaristeG
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Re: Senior 2015

Messaggio da EvaristeG » 12 lug 2015, 13:48

fph ha scritto:Posso rispondere riguardo ad A2, visto che una perizia calligrafica potrebbe incriminarmi. :)

Ti faccio uno sketch di quello che si è detto.

Idea 1: cominciamo a costruire un polinomio che soddisfi le prime $n+1$ condizioni: nota che è univocamente determinato, per teoria.
Teoria 1: ci sono quattro modi per costruirlo: si inverte una Vandermonde, ci si porta da casa la formula di Lagrange (e questi due sono un po' di lavoro in questo caso), oppure si sistema in modo greedy condizione per condizione (una volta costruito un polinomio che sistema tutte le condizioni fino a $f(\alpha_i)=y_i$, quello che rimane è un multiplo di $x-\alpha_{i+1}$, quindi si costruisce con quella formula e vengono i binomiali), oppure con la tabella delle differenze finite, di cui si parla anche in qualche senior (esempio: A3M/2012). In questo caso la tabella delle differenze finite comincia con tante potenze di due, quindi è facile da costruire.
Digressione di teoria 1: tra l'altro, dalla FDA c'è un metodo di ricostruire tutto il polinomio e non solo grado e ultimo coefficiente: se scrivi il polinomio nella "base dei monomi" $p(x)=\sum_{\ell=0}^n c_\ell \binom{x}{\ell}$, i $c_\ell$ sono proprio i coefficienti nella prima colonna storta contenente $p(0)$, $p(1)-p(0)$... Dimostrazione di questo fatto: prova a vedere cosa succede alla FDA se la fai per $p(x)=\binom{x}{\ell}$; il primo pezzo è un Tartaglia rovesciato
Digressione 2: provate a fare con queste idee il "problema dei burocrati" che era alla gara a squadre 2014 e che non ha fatto nessuno.
Idea 2: una volta trovato questo polinomio con uno dei due metodi, bisogna vedere quanto fanno $p(n+1)$ e $p(n+2)$. Se hai la formula è facile, se invece l'hai fatto con la FDA puoi "tornare su" dall'ultima riga di costanti e riempire le ultime due colonne (freccine in viola nel pdf). Insomma, una di queste è soddisfatta e l'altra no.
Idea 3: come mai questa soluzione è unica? Supponiamo che ci siano due polinomi di grado n (sì, che abbiano grado n è nelle ipotesi anche del punto b. Se non lo fosse è facile costruire controesempi moltiplicando per polinomi di grado alto a piacere che si annullano in tutti i punti del problema) che soddisfano ognuno n+2 condizioni delle n+3. Ma allora in quanti punti coincidono? E allora cosa succede se coincidono in quel numero di punti?

Insomma, ci sono due modi alternativi di costruire il polinomio, uno usa la formula con i binomiali costruita con le mani o portata da casa, l'altro usa la FDA. A voi per arrivare a una soluzione ne basta uno, chiaramente. Nel pdf uno l'ha scritto Morandin e uno io alla fine. E l'altra parte dell'esercizio l'ho fatta solo io alla fine.
Mi sembra che questo risponda ampiamente...

Per il lemma di Gauss, direi che vi potete far passare un paio di pdf di TDN medium e vedere se si fa o no.

Rho33
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Re: Senior 2015

Messaggio da Rho33 » 12 lug 2015, 14:45

Allora, spero questa domanda sia lecita, nel video di A4, assolutamente comprensibile, viene scritto all'inizio un "polinomio"

$ p(x)=\displaystyle \bigl (\frac {a_1}{x+1}+\frac {a_2}{x+2}+\frac {a_3}{x+3}+\frac {a_4}{x+4}+\frac {a_5}{x+5}- \frac {1}{x}\bigr) x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) $ ,

il problema è che per valori di $ x=0,-1,-2,-3,-4,-5 $ non ha significato , ma non si possono escludere tutti perchè dopo, inserendo quella $ x $ dentro parentesi, ovvero

$ p(x)=\displaystyle \bigl (\frac {xa_1}{x+1}+\frac {xa_2}{x+2}+\frac {xa_3}{x+3}+\frac {xa_4}{x+4}+\frac {xa_5}{x+5}- \frac {1}{1}\bigr) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) $

serve calcolare $ p(0) $ che ora è possibile fare. Cosa si fa? Si scrive direttamente il secondo polinomio e si escludono i valori $ x=-1,-2,-3,-4,-5 $ oppure c'è un'alternativa?

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Re: Senior 2015

Messaggio da EvaristeG » 12 lug 2015, 14:54

Beh, così com'è scritto non è un polinomio, ma il risultato dell'operazione indicata (moltiplicazione tra la parentesi e il pezzo dopo) lo è. Tutto lì.
Per dirti
$f(x)=x\dfrac{2+x}{x}$
è un polinomio? Come è scritto, no, ma svolgendo le operazioni indicate fino ad avere solo somma di termini del tipo $ax^m$ (con $m\in\mathbb{Z}$), ci si accorge che lo è...

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Re: Senior 2015

Messaggio da Rho33 » 12 lug 2015, 15:09

Ahh, niente, che scemo, non avevo svolto i calcoli per pigrizia e non avevo visto che viene anche più facile da trattare dopo. Grazie mille come sempre :D

Lore97
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Re: Senior 2015

Messaggio da Lore97 » 12 lug 2015, 15:25

Scusate, ho un po' di confusione su quale sia l'enunciato del lemma della polare (mi sembra che si usi questo nome per indicare un po' di teoremi diversi...). Qual'è l'enunciato che useranno i correttori?

EvaristeG
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Re: Senior 2015

Messaggio da EvaristeG » 12 lug 2015, 15:32

Chi corregge non ha un libretto con scritti i teoremi, per segnare come sbagliati e non giustificati quelli che non sono nel libretto, ma, si spera, conosce la materia e sa quali fatti sono comunemente noti e quali no.
Se vuoi usare un certo fatto noto e non sei sicuro del nome, scrivi "ora uso il seguente fatto:" lo enunci per bene in generale e poi dici come lo applichi.

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Re: Senior 2015

Messaggio da Lore97 » 12 lug 2015, 15:33

Ok, grazie

alegh
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Re: Senior 2015

Messaggio da alegh » 13 lug 2015, 00:37

Un insieme A ha n elementi. Un insieme B ha n+1 elementi. Gli insiemi contengono n elementi uguali. Se l'n+1-esimo elemento è uguale ad uno delgi altri n elementi, la differenza simmetrica tra i due insiemi è zero o uno?

EvaristeG
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Re: Senior 2015

Messaggio da EvaristeG » 13 lug 2015, 00:39

alegh ha scritto:Un insieme A ha n elementi. Un insieme B ha n+1 elementi. Gli insiemi contengono n elementi uguali. Se l'n+1-esimo elemento è uguale ad uno delgi altri n elementi, la differenza simmetrica tra i due insiemi è zero o uno?
Non ha senso. Riguardati cos'è un insieme...

wall98
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Re: Senior 2015

Messaggio da wall98 » 13 lug 2015, 14:23

In G2, si conclude dicendo che esiste una rotazione di centro $R$ che manda $V$ in $U$. Dato che non so come farlo, non chiedo che mi diciate tutta la dimostrazione, ma almeno un hint?
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

Batman
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Re: Senior 2015

Messaggio da Batman » 13 lug 2015, 17:44

Salve, se uso il simbolo
*
scrivendo le soluzioni con word si capisce che sto facendo una moltiplicazione? Ad esempio a*b

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