Senior 2014

[matpro98]

Domanda da principiante, come anno di corso va messo quello dell'anno scolastico 2013/14 o 2014/15?

L'anno di corso è quello che avete concluso a giugno.

Grazie mille

[simone256]

Ah boh, vedi un po' tu … Dipende da quanto sono ovvi o meno, da quanto sono dettagliati o meno, eccetera eccetera … questo non è un invito a postarli così possiamo dirti sì o no, ma a riflettere.

Oook grazie

[Lasker]

Il lemma LTE oppure quello sconosciuto (almeno da me ) di A8 sui polinomi e i quadrati (a proposito, ha un nome?) posso anche enunciarli senza dimostrazione? E, se volessi (dovessi ) proporne una, potrei anche presentarla in breve in appendice (visto che verrebbero lunghette a trattarle per bene), fuori dal rigore delle dimostrazioni dei problemi veri e propri e magari usando approcci un po' meno elementari (che per il secondo lemma mi sembrano quasi necessari)?
Posso inoltre citare alcuni fatti che ho dimostrato in un altro esercizio? Per esempio, al momento sto scrivendo frasi come "per il piccolo teorema di Fermat (del quale ho dato una dimostrazione in N5)", e sto riutilizzando in G8 alcune proprietà del birapporto dimostrate in G5...

[EvaristeG]

Sull'LTE non ti rispondo, visto che c'è un post dove dico cosa si può e cosa non si può usare ai vari livelli di soluzione degli arnesi noti.

Sul lemma di A8, non mi sembra così terribile scrivere una dimostrazione:

Testo nascosto:

1. intanto dimostra che se p(x) sta in Z[x] ed è irriducibile allora esiste p tale che $p(n)\equiv 0 \bmod p$ ma $p(n)\not\equiv 0 \bmod p^2$ per infiniti $n$
(Hint: potrebbe essere utile il fatto che se p(x) è irriducibile allora esistono $f(x)$ e $g(x)$ a coefficienti interi tali che $f(x)p(x)+g(x)p'(x)=1$ ed anche il fatto che $p(n+p)-p(n)\equiv p\cdot p'(n) \bmod p^2$)
2. poi dimostra che se p(x) assume valori interi sugli interi ed è di grado $m$ allora $m!p(x)$ è a coefficienti interi
3. dimostra che se p(x) assume valori interi sugli interi ed ha un fattore irriducibile che compare ad una potenza dispari allora esiste p tale che $p(n)\equiv 0 \bmod p$ ma $p(n)\not\equiv 0 \bmod p^2$ per infiniti $n$.

[Lasker]

@EvaristeG: mi è venuto un grosso dubbio riguardo ai due fatti citati nell'hint, infatti assumendoli entrambi veri incorro in alcuni problemi, quindi molto probabilmente non ho capito qualcosa del testo .

Metto $n$ nella prima relazione e la valuto modulo $p^2$, ottenendo:
$$f(n)p(n)+g(n)p'(n)\equiv 1 \pmod {p^2}$$
Sostituendo ora la seconda per togliere $p'(n)$ ottengo
$$f(n)p(n)+g(n)[p(n+p)-p(n)]\equiv 1 \pmod {p^2}$$
Ma $p$ divide $p(n)$ per ipotesi, mentre per un lemma noto vale anche:
$$(n+p)-n\mid p(n+p)-p(n)$$
E quindi il LHS sarebbe multiplo di $p$, ma anche congruo a $1$ modulo $p^2$ (e quindi $p$), da cui $p=1$ assurdo .
Dove sbaglio? (probabilmente in tutto...)

[EvaristeG]

Troppe p .. e ne mancava una. Ho corretto. Comunque potevi fare il conto e vedere a cosa era congruo p(n+p)-p(n) modulo p^2

[angelo3]

N8 PreIMO 2013: serve dimostrare il lemma $ (X^n-1,X^m-1)=X^{(m,n)}-1 $ oppure lo possiamo dare per scontato?

G8: come si fa il caso in cui concorrono gli assi radicali in $ P $?

Grazie mille!

[EvaristeG]

N8 PreIMO 2013: serve dimostrare il lemma $ (X^n-1,X^m-1)=X^{(m,n)}-1 $ oppure lo possiamo dare per scontato?

visto che me lo chiedi, non sai come si dimostra, quindi sì, dimostralo di certo non ti farà male.

G8: come si fa il caso in cui concorrono gli assi radicali in $ P $?

Questa domanda non ha alcun senso e lascio a te scoprire il perché

[GimmyTomas]

N8 PreIMO 2013: serve dimostrare il lemma $ (X^n-1,X^m-1)=X^{(m,n)}-1 $ oppure lo possiamo dare per scontato?

visto che me lo chiedi, non sai come si dimostra, quindi sì, dimostralo di certo non ti farà male.

G8: come si fa il caso in cui concorrono gli assi radicali in $ P $?

Questa domanda non ha alcun senso e lascio a te scoprire il perché

Per il Lemma, io ho scritto solo la dimostrazione nel caso particolare, cioè ho dimostrato che $ (m, n)=1\implies (5^m-1,5^n-1)=4 $, che poi è solo quello che serve nel problema. Va bene lo stesso?

Invece, per G8, è perché

Testo nascosto:

se uno degli assi radicali, diciamo $ AA' $, passa per $ P $, allora quest'asse ha 3 intersezioni con $ \omega_A $, quindi uno tra $ A $ e $ A' $ coincide con $ P $ e dunque $ P\in\omega $, contro le ipotesi del problema?

Piuttosto, è necessario specificare che $ X' $, $ Y' $ e $ Z' $ non sono punti all'infinito? (in effetti i birapporti funzionano anche con punti all'infinito, e lo stesso vale per la corrispondenza $ X\leftrightarrow X' $ tramite inversione circolare e riflessione)
Edit: mi spiego meglio. Se uno tra $ X' $, $ Y' $ e $ Z' $ è un punto all'infinito, si trova un assurdo (si va a un certo punto contro le ipotesi del problema). Tuttavia, la dimostrazione funziona lo stesso. Perciò, è necessario specificarlo?

[AlfaSette]

Qualcuno che conosco ha perso la password, ma vorrebbe chiedere:

Scusate ma nel G6(PreIMO-P) si suppone che il triangolo sia acutangolo? La soluzione viene svolta integralmente sotto questa ipotesi e nel caso in cui sia ottusangolo la tesi non sembra neanche vera

[EvaristeG]

Per il Lemma, io ho scritto solo la dimostrazione nel caso particolare, cioè ho dimostrato che $ (m, n)=1\implies (5^m-1,5^n-1)=4 $, che poi è solo quello che serve nel problema. Va bene lo stesso?

Dovete dimostrare quello che usate e che non è "coperto" dalle istruzioni generali che ho dato all'inizio di questo thread su cosa va dimostrato e su cosa va dato per buono.

Invece, per G8,...

Se qualcosa è vietato dalle ipotesi, basta far notare che non può accadere per ipotesi.

Scusate ma nel G6(PreIMO-P) si suppone che il triangolo sia acutangolo?

Sì.

[angelo3]

N8 PreIMO 2013: serve dimostrare il lemma $ (X^n-1,X^m-1)=X^{(m,n)}-1 $ oppure lo possiamo dare per scontato?

visto che me lo chiedi, non sai come si dimostra, quindi sì, dimostralo di certo non ti farà male.

In realtà è per pigrizia, magari potevo darlo per scontato xD

G8: come si fa il caso in cui concorrono gli assi radicali in $ P $?

Questa domanda non ha alcun senso e lascio a te scoprire il perché

Mi sono reso conto di aver capito male dal video xD

E ora il mio problema è perché se ho una circonferenza i cui assi radicali con altre 3 circonferenze concorrono allora queste 3 sono coassiali. Mi hinti?

Grazie mille

[GimmyTomas]

E ora il mio problema è perché se ho una circonferenza i cui assi radicali con altre 3 circonferenze concorrono allora queste 3 sono coassiali. Mi hinti?

Ci provo io.

Fatto 1. Date tre circonferenze qualsiasi, i tre assi radicali concorrono (perché...).

Tra le quattro circonferenze che hai (di cui tre coassiali), applica il Fatto 1 a due opportune terne di circonferenze.

[Drago96]

Domanda stilistica: i tre di miscellanea li chiamiamo M1,M2,M3 oppure C7,N8,A7?

Ci ritento... xD
E aggiungo: in un geometrico in baricentriche pure, serve la figura? (sì lo so, ciò è molto male)

[simone256]

Domanda stilistica: i tre di miscellanea li chiamiamo M1,M2,M3 oppure C7,N8,A7?

Ci ritento... xD
E aggiungo: in un geometrico in baricentriche pure, serve la figura? (sì lo so, ciò è molto male)

Io ogni esercizio l'ho chiamato nell'ordine (per esempio A1 A2 A3 A4 e tra parentesi l'origine del WC.
Per esempio A1 (WC A4), A4 (WC M3).

Massì dai una figurina in più chettecosta?